Aber wo ist der Denkfehler? Aus Diffbarkeit folgt Stetigkeit

Question

Liebe Lounge,

ich bin etwas verwirrt über die Definition der Differenzierbarkeit gestolpert, bei welcher der beidseitige Grenzwert des Differenzenquotienten an der Stelle x_0 existieren muss und identisch sein muss.

Betrachtet man folgende Funktion:

f(x)= 1 für x größer gleich 0 und f(x)=-1 für x<0.

Der linksseitige Grenzwert des Differenzenquotienten ist 0 und der rechtsseitige ebenfalls. Demnach müsste die Funktion an der Stelle x=0 diffbar sein und damit sogar stetig.

Dass das nicht stimmt ist klar. Aber wo ist der Denkfehler? Die Definition müsste ja eigentlich richtig angewendet sein?

Vielen Dank!

Answer 1

Hallo,

die Funktion ist x=0 nicht differenzierbar:

(f(0+h)-f(0))/h=(f(h)-1)/h

= 0 für positive h

= -1/h für negative h → linksseitiger Grenzwert existiert nicht

Comments

Warum existiert der linksseitige Grenzwert nicht? Ich glaube das ist mein Fehler..

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Mein Versuch:

\( \lim\limits_{h\to0} \) \( \frac{f(x0+h)-f(x0)}{h} \)=\( \lim\limits_{h\to0} \) \( \frac{1-1}{h} \)=\( \lim\limits_{h\to0} \) 0 = 0 (rechtsseitiger Grenzwert)

\( \lim\limits_{h\to0} \) \( \frac{f(x0+h)}{h} \)=\( \lim\limits_{h\to0} \) \( \frac{-1-1}{h} \)=\( \lim\limits_{h\to0} \) \( \frac{-2}{h} \)= ∞ (für negative h, also der linksseitige)

Somit existiert der Grenzwert nicht beidseitig und die Funktion ist an der Stelle xo=0 nicht diffbar.

Passt das so? Auch formal?     

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Für den linksseitigen Grenzwert müsste im Zähler -1 stehen, ansonsten ist es richtig.

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aber -1-1 ist -2?

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Achso deine Funktion ist -1 für x<0 , hatte erst 0 gelesen. Dann stimmt es.

Answer 2

Hallo Kombi,

mein Vorschlag :
die Funktion ist nicht stetig und dürfte damit
nicht differenziebar sein.

mfg Georg

Answer 3

Wie kommst du darauf,  dass der linksseitige Grenzwert an der Stelle x=0

0 ist , für mich steigt er ins unerträgliche.

Oh, ich meinte Unendliche.

Comments

Siehe obige Kommentare :) Für mich nun auch!