f(x)=cbrt(x3) also 3-te Wurzel---->f'(x)=?

Question

Aufgabe:

f(x)=cbrt(x^3) also 3-te Wurzel

f'(x)=?

Problem/Ansatz:

Hallo Leute,

Ich habe ein Problem beim ableiten von n-ten Wurzeln, und zwar habe ich als Beispiel mir einfach mal die oben genannte Aufgabe genommen.

Ich habe sie durch 3 verschiedene Rechner gejagt und als Antwort 3 verschiedene Antworten erhalten:

1. =(x^2)/(cbrt(x^3))^2

2. =1 (was mir auch einleuchtet, wenn man die 3-te Wurzel von ^3 nimmt bleibt x übrig, abgeleitet also 1)

3. =x^2/(x^3)^2/3 (was mir komisch erscheint, denn ich würde eher ^1/3 schreiben)

Ich selber komme nur mit einer Grundableitung auf:

1/(3cbrt(x^2)

(Falls die Antwort wirklich 1 sein sollte, wie wäre es dann mit f(x)=Cbrt(x^4) → f'(x)=?

Also was ist nun die richtige Antwort,

Answer 1

Hallo,

die Lösungen 1, 2 und 3 sind alle identisch und auch richtig und Deine ist falsch.$$1.) \quad f' = \frac{x^2}{\left(\sqrt[3]{x^3}\right)^2} = \frac{x^2}{x^{\frac 33 \cdot 2}} = \frac{x^2}{x^2} = 1 \\ 2.) \quad f' = 1 \quad \checkmark \\ 3.) \quad f'= \frac{x^{2}}{(x^{3})^{2/3}} = \frac{x^2}{x^{3 \cdot \frac23}} = \frac{x^2}{x^2} = 1 $$Im Grunde ist ja $$f(x) = \sqrt[3]{x^3} = x \implies f'(x) = 1$$Wenn Du es aber z.B. nach der Kettenregel ableitest, so sieht es so aus:$$f'(x) = \frac 13 \left( x^3 \right)^{ \frac 13-1} \cdot 3x^2 = x^{3 \cdot \frac {-2}3} \cdot x^2 = x^{-2+2} = 1$$

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Danke für die Antwort,

jetzt leuchtet es mir auch mit den Potenzen ein, ich war mir nicht ganz sicher wie man die 3-ten Wurzel und x^3 in einer Potenz zusammenfasst.

Answer 2

Hallo,

die dritte Wurzel ableiten:

f(x) = x^1/3

f´(x) = 1/3  x^1/3-1

         = 1/3 * x ^-2/3

          1/ (3 * ³√x² )

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Auch dir Danke,

aber das ist ja genau die selbe Lösung auf die ich auch gekommen bin, die sich jetzt auch als als Falsch erwiesen hat.

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Leider konnte ich der Aufgabe nicht entnehmen ,ob es sich um

f(x) = ³√x³   handelt , wenn es so wäre ist 1 natürlich richtig

Answer 3

Hallo,

$$\sqrt[n]{a^m}=a^{\frac{m}{n}}\\[15pt] f(x)=\sqrt[3]{x^3}=(x^3)^{\frac{1}{3}}=x^{\frac{3}{3}}=x^1=x\\ f'(x)=1\\ f(x)=\sqrt[4]{x^3}=(x^3)^{\frac{1}{4}}=x^{\frac{3}{4}}\\ f'(x)=\frac{3}{4}x^{-\frac{1}{4}}=\frac{3}{4\sqrt[4]{x}}$$

Melde dich, falls du dazu noch Fragen hast.

Gruß, Silvia

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Hallo,

die Formulierung mit m und n hilft mir sehr, vielen Dank☺