Aloha :)
Hier hilft Partialbruchzerlegung weiter:
=x3−4x2x3−7x=x(x2−4)x(2x2−7)=x2−42x2−7=x2−42x2−8+1=x2−42x2−8+x2−41=x2−42(x2−4)+(x−2)(x+2)1=2+x−2A+x+2BUm die Werte für A und B herauszufinden, bringen wir die beiden Brüche auf den Hauptnenner:
=(x−2)(x+2)1=!x−2A+x+2B=(x−2)(x+2)A(x+2)+B(x−2)=(x−2)(x+2)Ax+2A+Bx−2B=(x−2)(x+2)(A+B)x+2(A−B)Der Zähler muss gleich 1 sein, also muss A+B=0 und A−B=21 sein. Die Lösung dieses kleinen Gleichungssystems liefert:A=41;B=−41Damit können wir den Integranden von oben so schreiben:x3−4x2x3−7x=2+41⋅x−21−41⋅x+21Diese 3 Summanden sind sofort integrierbar, sodass:I : =∫x3−4x2x3−7xdx=2x+4ln∣x−2∣−4ln∣x+2∣+const.Das kann man noch zusammenfassen:I=2x+41(ln∣x−2∣−ln∣x+2∣)+const.I=2x+41ln∣∣∣∣∣x+2x−2∣∣∣∣∣+const.