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Aufgabe 2x^3-7x÷x^3-4x$$\int \frac{2x^3-7x}{x^3-4x} \, \text dx = ?$$


Problem/Ansatz

Hallo, kann mir einer helfen die Lösung von dieser Aufgabe zu finden, ich komme leider nicht weiter.

VG

Sara

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Aloha :)

Hier hilft Partialbruchzerlegung weiter:

$$\phantom{=}\frac{2x^3-7x}{x^3-4x}=\frac{x(2x^2-7)}{x(x^2-4)}=\frac{2x^2-7}{x^2-4}=\frac{2x^2-8+1}{x^2-4}=\frac{2x^2-8}{x^2-4}+\frac{1}{x^2-4}$$$$=\frac{2(x^2-4)}{x^2-4}+\frac{1}{(x-2)(x+2)}=2+\frac{A}{x-2}+\frac{B}{x+2}$$Um die Werte für \(A\) und \(B\) herauszufinden, bringen wir die beiden Brüche auf den Hauptnenner:

$$\phantom{=}\frac{1}{(x-2)(x+2)}\stackrel{!}{=}\frac{A}{x-2}+\frac{B}{x+2}=\frac{A(x+2)+B(x-2)}{(x-2)(x+2)}$$$$=\frac{Ax+2A+Bx-2B}{(x-2)(x+2)}=\frac{(A+B)x+2(A-B)}{(x-2)(x+2)}$$Der Zähler muss gleich \(1\) sein, also muss \(A+B=0\) und \(A-B=\frac{1}{2}\) sein. Die Lösung dieses kleinen Gleichungssystems liefert:$$A=\frac{1}{4}\quad;\quad B=-\frac{1}{4}$$Damit können wir den Integranden von oben so schreiben:$$\frac{2x^3-7x}{x^3-4x}=2+\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{x-2}-\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{x+2}$$Diese 3 Summanden sind sofort integrierbar, sodass:$$I:=\int\frac{2x^3-7x}{x^3-4x}dx=2x+\frac{\ln|x-2|}{4}-\frac{\ln|x+2|}{4}+\text{const.}$$Das kann man noch zusammenfassen:$$I=2x+\frac{1}{4}\left(\ln|x-2|-\ln|x+2|\right)+\text{const.}$$$$\phantom{I}=2x+\frac{1}{4}\ln\left|\frac{x-2}{x+2}\right|+\text{const.}$$

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Danke für die Antwort, kann ich bei so einem Fall immer x ausklammern? Danach ist es ja eine einfache Partialbruchzerlegung

Ja kannst du. Du musst aber dann bei den Integrationsgrenzen beachten, dass du nicht über die \(0\) hinweg integrieren darfst. Bei der Division durch \(x\) setzt du ja im Hinterkopf voraus, dass \(x\ne0\) sein muss.

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Gefragt 20 Nov 2014 von Gast

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