Multiindexnotation partielle Ableitungen

Question

, ich beschäftige mich momentan mit der Multiindexnotation bei partiellen Ableitungen, und würde gernen für n=2 folgende Gleichheit verifizieren:

$$D^β x^α = \begin{pmatrix} α\\β \end{pmatrix} x^ {α-β}$$

Wenn also n= 2 ist erhalte ich:

$$ D^β x^α= D^{β_1} D^{β_2} (x_1) ^{α_1} (x_2)^{α_2} $$

aber mir ist nicht klar, wie ich das auf die allgemeine Formel oben übertragen soll, vielleicht sieht es jemand von euch.

LG

Comments

Die Gleichheit gilt doch gar nicht?

n = 1, \( \beta_1 = 5 \), \( \alpha_1 = 7 \), dann ist $$ D_1^{\beta_1} x_1^{\alpha_1} = D_1^5 x_1^7 = 7 \cdot 6 \cdot \dotsm \cdot 3 \cdot x^2 \neq \begin{pmatrix} 7 \\ 5 \end{pmatrix} x_1^{7-5} $$

Es sollte wohl

$$ D^β x^α = \begin{cases} \frac{\alpha!}{(\alpha - \beta)!} x^ {α-β} & \beta \le \alpha \\ 0 & \textrm{sonst} \end{cases} $$

heißen.

---

Hallo, ja, das habe ich vergessen, β<=α soll gelten. Aber wie kommst du auf den Ausdruck für

$$D^β x^α $$ wenn $$ β<=α $$gilt ?

LG

---

Es gilt doch auch

$$ \frac{\textrm{d}^ b}{\textrm{d}x^b} x^a = \frac{a!}{(a-b)!} x^{a-b} $$

---

Okay vielen Dank dir :)

---

Dir sollte dann aber auch die Beweisidee klar sein.

$$ D^\beta = D_1^{\beta_1} \dotsm D_n^{\beta_n} $$

Du leitest also partiell \( \beta_1 \) mal nach \( x_1 \), \( \beta_2 \) mal nach \( x_2 \), ... und \( \beta_n \) mal nach \( x_n \) ab.

$$ x^{\alpha} = x_1^{\alpha_1} \dotsm x_n^{\alpha_n} $$

also ist

$$ D^\beta x^\alpha = (D_1^{\beta_1} \dotsm D_n^{\beta_n}) (x_1^{\alpha_1} \dotsm x_n^{\alpha_n})= D_1^{\beta_1} x_1^{\alpha_1} \dotsm D_n^{\beta_n} x_n^{\alpha_n} $$

D.h. du musst einfach nur die Formel vom eindimensionalen Fall n mal einsetzen und erhältst dann wieder die gleiche Formel aber eben in Multiindexnotation.

---

Ok, das heißt der Knackpunkt ist eigentlich, dass ich die partiellen Ableitungen "sortieren" kann ?