Gesucht ist eine Gerade g durch Punkt P parallel zur Schnittgerade der beiden Ebenen.

Question

Aufgabe:

Gesucht ist eine Gerade g durch Punkt P parallel zur Schnittgerade der beiden Ebenen.

Stimmen meine Berechnungen?

\( \begin{aligned} & \frac{-4}{\sqrt{6} \cdot 3} \\=&-0,544331 \\ x &=\cos ^{-1}(-0,544331) \\ \alpha &=122,97 \end{aligned} \)

Answer 1

α= 122,98° oder 237,02 °

Comments

ist es eine Frage?

---

Nein

cos(x)=cos(-x) es gibt also zwei mögliche Lösungen, wobei ich nur den ersten Zettel gelesen habe, der Rest war mir zu anstrengend. Warum soll ich mich mehr anstrengen, als der Fragesteller. Wenn der Bruch falsch war, wird auch der Winkel falsch sein. Doch es wurde falsch gerundet und es gibt wie gesagt zwei Winkel.

---

Was ist der Bruch?

---

Das, was oben links in der Ecke steht.

\( \frac{-4}{\sqrt{6}*3} \)

---

wieso sagen sie dass

-4/ √6*3 falsch ist

---

Ich habe nie gesagt, dass dieser Ausdruck falsch ist, ich habe gesagt, dass wenn er falsch ist, auch der von mir angegebene Winkel falsch ist. Ich habe ihn nicht kontrolliert. Was ich nachgerechnet habe, waren die daraus resultierenden Werte.

---

alles Klar danke

Answer 2

a) Es müsste (nach deiner angestrebten Schrittfolge) wie folgt aussehen:

$$ \begin{array}{lllll}  I &) 2x-3y+z & &=1 \\ II &) 3x+2y-4z & &=-1\\ \hline III &) 6x-9y+3z & & = 3 & & &(3\cdot I) \\ IV &) -6x-4y+8z & & = 2 & & &(-2\cdot II) \\ \hline V &) -13y+11z & &=5 & & &(III+IV) \\ \end{array} $$

\( \Rightarrow y=-\frac{5}{13}+\frac{11}{13}z = \frac{1}{13} \cdot (-5+11z) \)

Einsetzen in eine der beiden Ebenengleichungen (hier I):

$$2x-3\cdot(\frac{1}{13} (-5+11z))+z=1 \Rightarrow x=\frac{1}{26} (-2+20z)$$

Damit liegen alle Punkte G(x,y,z) mit $$x=\frac{1}{26}(-2+20z), \ y=\frac{1}{13}(-5+11z)$$ in beiden Ebenen E₁ und E₂ (also auf der Schnittgeraden).

Nun muss ein Richtungsvektor v der Schnittgeraden bestimmt werden, z.B. über Ermittlung zweier Punkte der Geraden, wie P₁ (3,3,4) und P₂ (-7,-8,-9), mit denen also v=(-10,-11,-13)^T.

Dann ergibt sich mit dem gegebenen Punkt P (3,0,2) die zur Schnittgeraden parallele Gerade g, die den Punkt P beinhaltet mit:

$$g: x=\begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix} -10 \\ -11 \\ -13 \end{pmatrix}, \ r\in \mathbb{R}$$

b) Es müsste (nach deiner angestrebten Schrittfolge) wie folgt aussehen:

Möglicher Normalenvektor zu E₁ : n=(2,-3,1)^T

Durch Verschiebung von P (3,0,2) über ein Vielfaches von n aus entstandene Punkte X: $$ OX=\begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix} \Rightarrow X (3+2r, -3r, 2+r)$$

Damit X in E₁ liegt, muss erfüllt sein:

$$2\cdot (3+2r) -3 \cdot (-3r) + (2+r)=1 \Rightarrow 6+4r+9r+2+r=1 \Rightarrow 8+14r=1 \Rightarrow 14r=-7 \Rightarrow r=-\frac{1}{2}$$

Eingesetzt in X (nicht in die Schnittgerade der Ebenen!) ergibt das:

$$X \ (3+2r, -3r, 2+r)=X \ (2,\frac{3}{2}, \frac{3}{2})$$

c) Es wird meistens nur der kleinere der beiden Schnittwinkel angegeben (daher der Betrag in deiner Gleichung), da beide zusammen 180° ergeben, der andere also offensichtlich leicht zu berechnen ist.

Es gilt im Übrigen für deine Normalenvektoren

$$|n_1| = \sqrt{2^2+(-3)^2+1^2}=\sqrt{14}, \ |n_2|=\sqrt{3^2+2^2+(-4)^2}=\sqrt{29}$$

also auch für den kleineren der beiden Schnittwinkel (hier alpha genannt):

$$cos(\alpha)=\frac{|n_1\cdot n_2|}{|n_1|\cdot |n_2|}=\frac{4}{\sqrt{14}\cdot \sqrt{29}} \approx 0,19852 \Rightarrow \alpha=78,55°$$

Comments

Hallo

wieso haben Sie 4 für n1.n2

ich habe -4 gefunden

Answer 3

Tut mir leid aber an deinen Rechnungen stimmt nix. Und du rechnest auch viel zu Kompliziert.

a) Gesucht ist eine Gerade g durch P parallel zur Schnittgeraden der beiden Ebenen.

[2, -3, 1] ⨯ [3, 2, -4] = [10, 11, 13]

g: X = [3, 0, 2] + r·[10, 11, 13]


b) Gesucht ist der Fußpunkt des Lotes von P auf E1.

[3, 0, 2] + r·[2, -3, 1] = [2·r + 3, - 3·r, r + 2]

2·(2·r + 3) - 3·(- 3·r) + (r + 2) = 1 → r = -0.5

L = [3, 0, 2] - 0.5·[2, -3, 1] = [2, 1.5, 1.5]


c) Gesucht ist der Schnittwinkel der beiden Ebenen

α = ARCCOS( |[2, -3, 1]·[3, 2, -4]| / (|[2, -3, 1]|·|[3, 2, -4]|) ) = 78.55°

Comments

Danke für Ihre Bemerkungen

ich habe wie euch gemacht und finde für

a)(3,0,2)+ r(10,-11,-13)

---

Dann hast du etwas verkehrt gemacht. Was kann ich dir gerade nicht sagen weil ich nicht weiß wie du auf deine Lösung gekommen bist.

---

(2 -3 1)*(3 2 -4)

-3*-4 - 1*2

2*-4 - 1*3

-3*3 - 2*2

12-2

-8-3

-9-4

---

Schau dir nochmals die genaue Berechnung des Kreuzproduktes an. Du hast da zweimal die Reihenfolge vertauscht.

[2, -3, 1] ⨯ [3, 2, -4]

= [-3·(-4) - 1·2, 1·3 - 2·(-4), 2·2 - (-3)·3]

= [12 - 2, 3 - (-8), 4 - (-9)]

= [10, 11, 13]

---

Ja stimmt

Danke

---

für den Schnittwinkel ich habe -4/√14*√29 gefunden

-0,19851

---

Wenn du davon noch den Betrag nimmst und den Arkuskosinus nimmst, kommst du auf das richtige Ergebnis.

---

ich finde 101°

---

Dann hast du nicht den Betrag genommen. Es gibt zwei Winkel beim Schnitt zweier Ebenen. Man gibt eigentlich immer den kleineren der beiden Winkel an. Du hast hier den größeren Angegeben.