Welchen Schnittpunkt mit der x-Achse haben die Tangenten?

Question

Aufgabe:

Betrachten Sie die Tangenten an den Graphen der e-Funktion an den Stellen -1; 0; 1; 2; 3. Welchen Schnittpunkt mit der x-Achse haben die Tangenten?

a) Formulieren Sie eine Vermutung und beweisen Sie diese.

b) Untersuchen Sie, welche geometrische Konstruktion für die Tangente sich aus den Ergebnis aus Teilaufgabe a) ergibt.

Problem/Ansatz:

Also eine Vermutung habe ich schon aufgestellt, ich vermute, dass die Nullstellen der Tangenten bei -2, -1, 0, 1, 2 liegen. Wie genau ich das jetzt aber beweisen soll weiß ich nicht. Würde mich freuen, wenn mir jemand die einzelnen Schritte erklären könnte. Danke :)

Answer 1

a) Formulieren Sie eine Vermutung und beweisen Sie diese.

Die Tangente an der Stelle a hat bei a - 1 ihre Nullstelle

f(x) = e^x
f'(x) = e^x

Tangente an der Stelle x = a

t(x) = f'(a)·(x - a) + f(a) = e^a·(x - a + 1)

Nullstelle t(x) = 0

x - a + 1 = 0 --> x = a - 1

~plot~ e^x;0.3679·(x+2);x+1;2.7183·x;7.3891·(x - 1);[[-3|3|-2|8]] ~plot~

Answer 2

Vermutung: Die Tangente in P(a;e^a) schneidet die x-Achse bei a-1.

Bew.: Tangente bei P(a;e^a) hat die Steigung e^a, Also Tang-gleichung

mit y = mx+n liefert  e^a = e^a * a + n

==>  n = e^a*(1-a)

==>  T: y = e^a * x + e^a(1-a)

schneidet die x-Achse, wenn

e^a * x + e^a(1-a)  = 0 

   x + 1-a = 0

            x = a-1   q.e.d.