Erweiterung der Differenzialrechnung

Question

Aufgabe:Hallo Leute ich verstehe folgende Aufge nicht:

Eine Firma soll aus verschieden großen quadratischen Pappbögen mit der Kantenlänge k oben offenen Schachteln mit möglichst großem Fassungsvermögen herstellen.

a.) Begründen Sie, dass V(x)= x*(k-2x)^2 eine passende Formel für das Volumen in Abhängigkeit der Kartenlänge k ist.

b.) Ermitteln Sie das maximal mögliche Volumen in Abhängigkeit von k.

danke im voraus ;)

Answer 1

Damit du die 4 Seitenflächen nach oben klappen kannst, musst

du von dem Quadrat mit der Seitenlänge k an jeder Ecke ein Quadrat mit der

Seitenlänge x abschneiden.

Der Boden der Schachtel ist dann ein Quadrat mit der Seitenlänge k-2x also

Fläche (k-2x)^2 und die Höhe der Schachtel ist das x, also Volumen V(x)= x*(k-2x)^2

V ' (x) = 3x^2 - 8kx + 4k^2  ist 0 für

x=2k oder x=2k/3

V ' ' (x) = 6x-8k

also V ' ' (2k) = 4k > 0 also hier Minimum

und V ' ' ( 2k/3) = -4k < 0 also hier Maximum.

Größtes Volumen also V ( 2*k/3 ) = 32k^3 / 27

Comments

ein Quadrat mit der Seitenlänge x abschneiden.

Der Boden der Schachtel ist dann ein Quadrat mit der Seitenlänge k-2x also mit der Fläche (k-2x)^2

:-)

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Danke, korrigiere ich.

Answer 2

Hier eine Skizze

Die Quadrate ( x )  werden ausgeschnitten und die verbleibenden Flächen
nach oben zu einer Schachtel geklappt .

Grundfläche ( k - 2x ) ^2

Volumen = Grundfläche mal Höhe = ( k - 2x ) ^2 * x

( k - 2x )^2 = k^2 - 4kx + 4x^2
( k^2 - 4kx + 4x^2 ) * x
k^2*x - 4kx^2 + 4 x^3

Extremwerte : 1.Ableitung
V ´( x ) = k^2 - 8kx + 12x^2

Berechnen
k^2 - 8kx + 12x^2 = 0

Comments

Super Vielen Dank ;)