Hallo Dafux,
\(3\cdot(x^2-9) = 4x+1\space \cdot (x-3)\) Diese Gleichung scheint nicht mehr äquivalent zur ursprünglichen Gleichung zu sein. Sprich ich habe eine Fehler bzw. eine Umformung gemacht, die mathem. nicht korrekt ist.
Du hast den Term \(4x+1\) nicht geklammert. Aber das war vielleicht nur ein 'Tippfehler'. Wie oswald schon erwähnt hat, musst Du bei der Multiplikation mit Termen, die \(x\) enthalten, beachten, dass diese \(=0\) sein können. In dem Moment, wo Du mit \((x-3)\) multiplizierst, musst Du den Fall \(x=3\) gesondert betrachten. Bei \(x^2-9\) sind es \(x=3\) und \(x=-3\).
Du könntest ansonsten ja auch die Gleichung mit \(0\) multiplizieren, dann stimmt sie immer ;-)
Ich führe das mal zu Ende (mit der Klammer)$$\begin{aligned} 3\cdot(x^2-9) &= (4x+1)\cdot (x-3) \\ 3x^2 - 27 &= 4x^2 - 11x + 3 \\ 0 &= x^2 - 11x + 24 \\ \implies x_{1} &= 3, \quad x_2 = 8 \end{aligned}$$Das \(x_1=3\) muss gesondert betrachtet werden. Eine Lösung ist sicher \(x=8\).
Zu \(x = \pm 3\) werfen wir mal einen Blick auf die Graphen der beiden Terme links und rechts vom Gleichheitszeichen
~plot~ 3/(x-3);(4x+1)/(x^2-9);x=3;x=-3;{8|3/5};[[-6|10|-2|4]] ~plot~
Bei \(x=\pm 3\) sieht man, dass mindestens einer der Terme gegen unendlich geht, was Sinn macht, da in diesem Fall der Nenner des Bruches zu \(0\) wird. \(x=\pm 3\) kann man also im Vorfeld aus dem Definitionsbereich der Gleichung ausschließen. Und dann darf auch keiner der Werte in der Lösungsmenge auftauchen.
Es wäre noch zu untersuchen, ob es sich bei \(x=3\) um eine sogenannte (be)hebbare Definitionslücke handelt. Das ist aber hier nicht der Fall, und ich glaube, Ihr habt das noch nicht gehabt.
