Berechne folgenden Grenzwert

Question

Aufgabe:

Berechne folgenden Grenzwert

\( \lim\limits_{x\to\infty} \) \( (\frac{2-x}{x+3})^{2x+3} \)

Problem/Ansatz:

Das Ergebnis lautet \( -e^{-10} \)

Aber wie komme ich da drauf?

Gibt es hier eine Rechenregeln und könnte mir die jemand am Beispiel dieser Aufgabe zeigen.

Danke

Comments

Hallo

für große x ist der Bruch negativ, die angegebene Potenz also nicht definiert.

Gruß

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Das kann nicht sein, irgendwie muss ich ja auf das -e^-10 kommen.

Auch Wolfram alpha liefert so ein Ergebnis

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Eine Potenz mit ganzzahligen Exponenten ist definiert. Wenn der Bruch quadriert wird, ist auch die Wurzel daraus definiert.

Answer 1

Es gibt Regeln, die ich verstehe, und es gibt Regeln, die ich nicht verstehe.

Doch fangen wir an. ( Die Exponenten gelten immer für Zähler und Nenner, ich kann das leider nicht anders darstellen)

\( \lim\limits_{x\to\infty} \) \(\frac{(2-x)}{(3+x)} ^{2x+3} \) = \( \frac{1}{a} \) *b

\( \lim\limits_{x\to\infty} \) \(\frac{(2-x)^{2}}{(3x+1)^{2}} ^{x} \) *\( \lim\limits_{x\to\infty} \) \(\frac{(2-x)}{(3+x)} ^{3} \) verstehe ich

\( \lim\limits_{x\to\infty} \) \(\frac{(2-x)}{(3+x)} ^{3} \) =\( \lim\limits_{x\to0} \) \(\frac{(2x-1)}{(3x+1)} ^{3} \) = -1=b

verstehe ich

a= \( \lim\limits_{x\to\infty} \) \(\frac{(3+x)^{2}}{(2-x)^{2}} ^{x} \)=

Doch jetzt habe ich bei Wolfram nachgesehen und mich gewundert. Da ich gegen unendlich nicht eingeben konnte, musste ich den Grenzwert umschreiben.

\( \lim\limits_{x\to0} \) \(\frac{(3x+1)^{2}}{(2x-1)^{2}} ^{\frac{1}{x}} \)= \( e^{10} \) =a

=\( \lim\limits_{x\to0} \) \(\frac{(2x+1)^{2}}{(3x-1)^{2}} ^{\frac{1}{x}} \) das hatte mich etwas verwundert , doch das nur nebenbei.

\( \lim\limits_{x\to\infty} \) \(\frac{(2-x)}{(3+x)} ^{2x+3} \) =  \( \frac{1}{a} \) *b= - \( \frac{1}{e^{10}} \)

Comments

Was du da schreibst kann ich an keiner Stelle nachvollziehen.

Wo kommt das a^2, b und e^5 plötzlich her?

Was genau hast du wie umgeformt?

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Was b ist habe ich geschrieben, auch was a ist, das merkwürdige ist , wo \( e^{5} \) herkommt, da habe ich Wolfram Alpha gefagt, dabei habe ich diesen erwähnten Zusammenhang gefunden, den ich aber nicht erklären kann.

b steht in der dritten Zeile der Berechnungen.

a steht in der 4.Zeile

Den Grenzwert musste ich umformen um ihn statt gegen unendlich gegen 0 sterben zu lassen.

IDEE: 1/0 strebt gegen unendlich.

Answer 2

Hallo,

man berechnet

$$\lim_{x \to \infty} \left( \frac{x-2}{x+3}\right)^{2x+3}$$

indem man \(\exp(h(x))\) mit

$$h(x):=\frac{\ln \left( \frac{x-2}{x+3} \right) }{(2x+3)^{-1}}$$ untersucht. Den Grenzwert für \(h\) ermittelt man standardmäßig mit l'Hospital zu \(-10\).

Eventuell hat Wolfram das ganze für natürliche Zahlen x interpretiert??

Gruß