Question

Aufgabe : Welche Werte kann a annehmen, damit der Abstand der Geraden g zur x2 Achse mindestens 0.5 beträgt?

G:x=(0/0/1)+t*(1/0/a)

Ansatz; Normalerweise hätte ich jetzt den Abstand der Gerade mit dem Punkt ausgerechnet, aber irgendwie komme ich hier auf gar keinen Ansatz.

Vielen Dank im Voraus!

Answer 1

Normalerweise hätte ich jetzt den Abstand der Gerade mit dem Punkt ausgerechnet,

Das ist sinnvoll.

Der Punkt auf der x₂-Achse, der den kürzesten Abstand zur Gerade hat, ist (0 | 0 | 0), weil

• die x₂-Koordinate des Stützvektors 0 ist und
  
• der Richtungsvektor parallel zur x₁x₃-Ebene verläuft und
• x₁- und x₃-Koordinate des Punktes 0 sein müssen, weil er sonst nicht auf des x₂-Achse liegt.
  

Comments

Vielen Dank für die Antwort. Dennoch bin ich mir nicht sicher, wie ich nun weiter vorgehen soll.

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Das ist sinnvoll.

Das sehe ich anders. Es geht um den (Mindest-)Abstand windschiefer Geraden. Da weiß man von vornherein nicht, welches Punktepaar diesen Abstand repräsentiert.

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Wie soll man dann vorgehen ?

Könntest du mir das bitte erklären?

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Da weiß man von vornherein nicht, welches Punktepaar diesen Abstand repräsentiert.

Wenn man sich auf der Ebene auskennt, die orthogonal zu der einen Gerade verläuft und in der die andere Gerade liegt, dann kennt man schon einen Punkt dieses Punktepaars und das Problem reduziert sich auf den Abstand dieses Punktes zu der Geraden.

Answer 2

Ich trage mal zur Veranschaulichung bei, vielleicht kommst Du dann auf eine Lösung

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Vielen Dank für die Veranschaulichung. Um ehrlich zu sein, kann ich die Veranschaulichung zwar nachvollziehen. Ich bin dennoch planlos...

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Es sollte ja nun klar sein, das die Gerade um den Punkt (0,0,1) in der Ebene y=0 dreht.

Es handelt sich also um den Abstand zum Ursprung. Kreis mit radius 1/2 drumrum. Dreieck Ursprung T A - Gerade g ist Tangente an Kreis für Abstand 1/2

===>

T := 1/2(cos(30°),0,sin(30°))

===>

a={-√3, √3}

Answer 3

Deine Gerade verläuft in der xz-Ebene. Daher ist der Koordinatenursprung, der Punkt der y-Achse, der von deiner Geraden den kleinsten Abstand hat. Damit geht es hier um den Abstand eines Punktes zur Geraden.

Da könntest du jetzt einfach die Formel nehmen

|([0, 0, 0] - [0, 0, 1]) ⨯ [1, 0, a]| / |[1, 0, a]| ≥ 0.5 --> - √3 ≤ a ≤ √3

Alternativ kann man natürlich auch die Abstand windschiefer Geraden nehmen. Das ist besonders ratsam, wenn du nicht erkennen kannst das der Ursprung der Punkt der y-Achse ist der von der Geraden g den kleinsten Abstand hat.

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Welche Formel ist das?