Die Umkehrfunktion arbeitet mit vertauschtem Definitions- und Wertebereich der ursprünglichen Funktion.
Effektiv tauschst du Funktionswert und Argument aus der ursprünglichen Funktionsgleichung und stellst entsprechend um:
$$f(x)=-2x^2+8 \Rightarrow \text{Umkehrfunktion } f^{-1} \text{ mit } x=-2f^{-1}(x)^2+8 \xrightarrow{\text{ Umstellen nach } f^{-1}} \,...$$
Edit (zum besseren Verständnis):
In diesem Falle gibt es eigentlich keine Umkehr"funktion", sondern lediglich eine Umkehrrelation, die definiert wird mit $$f^{-1}(x)=\left\{\left(x|\sqrt{\frac{-x}{2}+4}\right), \left(x|-\sqrt{\frac{-x}{2}+4}\right) : \ x\in [-24,8]\right\}$$
Diese ist im Übrigen nicht eindeutig (damit auch keine Funktion). Die Aufgabe ist in der Hinsicht also nicht gut gestellt worden.
Allerdings kannst du dir jeweils eine Funktion
$$f^{-1} = \left\{\left(x|\sqrt{\frac{-x}{2}+4}\right): x\in [-24,8]\right\}$$
bzw.
$$f^{-1} = \left\{\left(x|-\sqrt{\frac{-x}{2}+4}\right): x\in [-24,8]\right\}$$
definieren um das Problem zu umgehen.
Damit du den Wertebereich von [-4,0] erhältst, würdest du letztere Variante wählen.
Dann gilt insbesondere auch:
$$f^{-1}(x)=-\sqrt{\frac{-x}{2}+4}=-\sqrt{\frac{1}{4} \cdot (-2x+16)}=-\frac{1}{2} \cdot \sqrt{-2x+16}$$
