Vorüberlegungen:
x^2+ 2(m+1)x+2m+2 > 0
für m soll ein Intervall angegeben werden, dass die Beziehung richtig ist.
m ist abhängig von x
Wenn x=0 → 2m+2 >0→ m > -1
x = 1 →1+ 2*(m+1)+2m+2 > 0
4m > - 5
m > -1,25 = -5/4 = -1 - 1/4
x= 2 → 4+4(m+1) +2m +2 > 0
6m > - 7
m > -7/6 = -1-1/6
x= 3 → 9 + 6 (m+1)+2m +2> 0
8m > -17
m > - 17/8
x> 0 →x^2+ 2(m+1)x+2m+2 > 0
(2x+2)m > - ( x^2 +2x +2)
m > - \( \frac{(x+1)^{2}+1}{2*(x+1)} \) = - 0,5 * ((x+1)+ \( \frac{1}{(x+1)} \) )
Je größer x ist, desto größer wird der Bereich von m
x < 0 →x^2+ 2(m+1)x+2m+2 > 0
2(x+1)m > - ( x^2 +2x +2)=-(x+1)^2 -1
Das waren die Vorüberlegungen, jetzt folgt die Auflösung
-1<x
m > - \( \frac{(x+1)^{2}+1}{2*(x+1)} \) = - 0,5 * ((x+1)+ \( \frac{1}{(x+1)} \) )
-1>x
m < - \( \frac{(x+1)^{2}+1}{2*(x+1)} \) = - 0,5 * ((x+1)+ \( \frac{1}{(x+1)} \) )
x = -1 →x^2+ 2(m+1)x+2m+2 > 0
1>0 für m ∈ ℝ
Wenn x=-1, dann ist die Beziehung für alle m ∈ ℝ gültig.