Aufstellen der Funktionsgleichung + Was ist genau der Unterschied zwischen einem Schnittpunkt und Scheitelpunkt?

Question

Aufgabe:

Aufstellen der Funktionsgleichung.
Gegeben:
A(-2 | 2)
B(-1 | 3,5)
C(1 | 3)

gesucht: Funktionsgleichung

Problem/Ansatz:

I  2    = 4a - 2b + c
II 3,5 = a - b + c
II 3    = a + b + c

Das ist mein Gleichungssystem, mein Problem dabei ist jetzt, ich weiß nicht, wie ich dieses gut löse.
Ich würde das am liebsten mit den Einsetzungsverfahren machen, allerdings habe ich keine Ahnung, wie ich das in diesem Gleichungssystem anweden soll.
Es wäre richtig toll, wenn eventuell jemand einen kompletten Lösungweg hier vorstellen könnte.


Dann außerhalb von den Aufstellen der Funktionsgleichung noch eine Frage.

Was ist genau der Unterschied zwischen einem Schnittpunkt und Scheitelpunkt?

Ich würde sagen: Schnittpunkt ist der Punkt, an dem zwei Graphen sich schneiden, also wo f(x)=g(x) gilt. Ist das so richtig?
Und wie sieht das beim Scheitelpunkt aus?

Comments

Richtig, ein Schnittpunkt ist ein Punkt an dem sich zwei Graphen schneiden. Auch richtig ist, dass da dann f(x) = g(x) gilt.

Ein Scheitelpunkt ist der höchste bzw. niedrigste Punkt einer Parabel. Der hat einen besonderen Namen ;).
(Wenn nun bspw die Information Scheitelpunkt S(4|2) mitgegeben wird, wissen wir, dass die Bedingung f(4) = 2, sowie f'(4) = 0 gelten muss, denn ein Extrempunkt hat ja die Steigung 0)

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Danke dir für die Erklärung!

Answer 1

2    = 4a - 2b + c
II 3,5 = a - b + c
II 3    = a + b + c ==>   c = 3 -a-b bei beiden anderen einsetzen gibt

2 = 4a -2b+3 -a-b

3,5 = a - b  +3-a-b

kürzer

-1 = 3a - 3b
0,5=      -2b

also b= -0,25    und a=-7/12    und c=23/6

sieht so aus

~plot~ -7/12 *x^2-1/4*x+23/6;{-2|2};{-1|3.5};{1|3} ~plot~

Comments

Ok.
Also ich habe es jetzt nochmal nachgerechnet mit deiner Beschreibung.
Wenn ich nach c umstelle, habe ich genau das selbe raus, wie bei dir, also c = 3 - a -b
Wenn ich das dann in I (Römisch I) einsetze habe ich folgendes:

2 = 4a - 2b + 3 - a - b
2 = 3a - b + 3 | - 3
- 1 = 3a - b
--> Da ist jetzt mein Problem, wie komme ich da jetzt auf ein anständiges Ergebnis?
b = 3a?

Dann, das folgende sollte stimmen:
c = 3 - a - b in II (Römisch II)

3,5 = a - b + 3 - a - b

3,5 = -2b + 3 | - 3
0,5 = -2b | :(-2)
- 0,25 = b

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Kannst du mir weiterhelfen? Bei foglendem?

Ich habe jetzt
bei c in I (Römisch eins) folgendes:

2 = 4a - 2b + 3 - a - b

2 = 3a - 3b + 3 | -3

- 1 = 3a - 3b

Wie mache ich da jetzt hier weiter?
Weil ich komme da nur auf a = b - 1/3...

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2 = 4a - 2b + 3 - a - b

Jetzt wird es falsch:
2 = 3a - b + 3 | - 3

richtig wäre

2 = 4a - 2b + 3 - a - b
2 = 3a - 3b + 3

Denn -2b - b sind -3b.

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Ok, stimmt, da habe ich mich vertan. ABER wie komme ich jetzt von:
2 = 3a -3b + 3  auf a? Wenn ich jetzt weiter mache:
-1 = 3a - 3b Aber jetzt ? Wie gehe ich da weiter?

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Jetzt formst du die 2. Gleichung um:

3,5 = a - b +3-a-b  

<=>  3,5 = - b +3-b

<=>  3,5 = - 2b +3   | -3

<=>  0,5 = -2b  | : -2

<=>  -0,25 = b

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Ja, dass ist mir klar, dass ich bei b = -0,25 habe. Mir geht es darum, wie ich auf a komme.
Ich habe ja folgendes gerechnet:
2 = 4a - 2b + 3 - a - b
2 = 3a - 3b + 3 | -3 
-1 = 3a - 3b → Hier an der Stelle ist jetzt mein Problem, wie ich das umgeformt kriege auf a, weil ich komme da wie gesagt nur auf a = b - 1/3. Aber die Lösung ist ja: a = -7/12
Das ist eigentlich gerade mein einziges Problem :D

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-1 = 3a - 3b

Jetzt b=-0,25 einsetzen gibt

-1 = 3a - 3*(-0,25)

-1 = 3a + 0,75  | -0,75

-1,75 = 3a

-7/4  =  3a | :3

-7/12 = a

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Ach sooooo . Jetzt verstehe ich es.

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Ich habe mich jetzt nochmal an einer weiteren Aufgabe gemacht.
A(4 | 8)
B(-2 | - 10)
C(-4 | 0)

I 8 = 16a + 4b + c
II - 10 = 4a - 2b + c
III 0 = 16a - 4b + c

II' : c = -10 - 4a + 2b

II' in I:

8 = 16a + 4b - 10 - 4a + 2b
8 = 12a + 2b - 10 | + 10
18 = 12a + 2b | -12a, /2b
I' 9 - 6a = b

I', II' in III:
0 = 16a - 4(9-6a) - 10 - 4a + 2b
0 = 16a - 36 + 24a - 10 - 4a +2b
0 = 36a + 2b - 46 | +46, -2b => ich brauch a
46 - 2b = 36a | 36
23/18 - 1/18b = a => dieses Ergebnis dann mit I' :

a = 23/18 - 1/18(9 - 6a)
a = 23/18 - 1/2 + 1/3a | - 1/3a
2/3a = 23/18 - 1/2
2/3a = 7/9 | / 2/3 (also durch 2/3)
a = 7/9 => Das dann mit I'

b = 9 - 6a
b = 9 - 6(7/9)
b = 13/3

a und b in c
c = - 10 - 4a + 2b
c = - 10 - 4  * 7/9 + 2 * 13/3
c = - 46/9

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Mein Funktionsrechner meint
f ( x ) = x^2 + x - 12

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Na ja ??????

~plot~ {-2 | 2} ;{-1 | 3.5} ;{1 | 3}; x^2 + x - 12 ~plot~

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Hallo mathef,

sind dies nicht die angegebenen Punkte ?

Ich habe mich jetzt nochmal an einer weiteren Aufgabe gemacht.
A(4 | 8)
B(-2 | - 10)
C(-4 | 0)

Answer 2

I 2    = 4a - 2b + c
II 3,5 = a - b + c
II 3    = a + b + c

Du machst aus 3 Gleicungen mit 3 Unbekannten
2 Gliechungen mit 2 Unbekannten und dann
1 Gleichung mit 1 Unbekannten

Hier der Weg mit 2 Glechungen und 2 Unbekannten

-----------------------------------------------------------------------

Du multiplizierst die
1.Gleichung mit dem Koeffizienten von x der 2.Gleichung
und die
2.Gleichung mit dem Koeffizienten von x der 1.Gleichung
Dann sind die Koeffizienten gleich und du kannst das
Additionsverfahren anwenden.

4 * x + 7 * y = 12
3 * x + 6 * y = 1

4 * x + 7 * y = 12  | * 3
3 * x + 6 * y = 1  | * 4

12 * x + 21 * y = 36
12 * x + 24 * y = 4 | abziehen
--------------------------
21y - 24y = 32
-----------------------------------------------------------------------

2    = 4a - 2b + c | * 1
3,5 = a - b + c | * 4

2    = 4a - 2b + c
14 = 4a - 4b + 4c | abziehen
---------------------
-12 = 2b - 3c

und

3,5 = a - b + c
3    = a + b + c   | abziehen
------------------
0.5 = -2b
b = -0.25

Einsetzen
-12 = 2b - 3c
b = -0.25
-12 = -0.5 - 3c
3c = 11.5
c =  3.8333

Einsetzen
2  = 4a - 2b + c
2 = 4 * a - 2 * (-0.25) + 3.8333
a = - 0.58333

Bei Bedarf nachfragen.

Comments

Schnittpunkte gibt es bei 2 Funktioen

Scheitelpunkt f ´( x ) = 0
Im Scheitelpunkt ist die Steigung einer
Funktion = 0
und die Krümmung ungleich 0
Sonst Sattelpunkt

Answer 3

Für eine Kurvenrekonstruktion bzw. eine Steckbriefaufgabe empfehle ich

http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/steckbrief.htm

Der Scheitelpunkt ist hier der höchste Punkt der Parabel. Dann gibt es noch einen Schnittpunkt mit der y-Achse und zwei Schnittpunkte mit der x-Achse.

Comments

4a - 2b + c = 2
a - b + c = 3.5
a + b + c = 3

II - I ; III - I

- 3·a + b = 1.5
- 3·a + 3·b = 1

II - I

2·b = - 1/2 --> b = - 1/4

Jetzt kann man noch einfach a und c berechnen.