Linearfaktordarstellung mit einer Nullstelle

Question

Aufgabe:

Nullstellen berechnen und in Linearfaktordarstellung angeben.

Aufgabe ist: 1/2x³ + 2x² + 2x + 3/2

Problem/Ansatz:

Nullstellen wurde mit Hilfe vom Horner Schema berechnet: x1: -3

und dann die restliche Gleichung in Pq eingesetzt und es kam unter der Wurzel eine negative Zahl raus. Demnach besitzt diese Funktion nur eine Nullstelle, wie muss ich nun diese in der Linearfaktordarstellung angeben?

Comments

https://www.desmos.com/calculator/zrntx3ypyo

:-)

Answer 1

Du schreibst entweder "Linearfaktor mal quadratischer Term", oder du zerlegst zusätzlich noch den quadratischen Term in Linearfaktoren mit komplexen Zahlen.

Comments

Mit dem Horner Schema kam ich dann auf diesen Quadratischen Term: 1/2x² +1/2x+1/2

-> mit der Pq Formel kommt da kein Ergebnis raus.

Und du meinst jetzt ich solle es dann so darstellen:

-> (1/2x² + 1/2x +1/2) * (x+3)

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Ja, wenn du im Reellen bleibst. Den Faktor 1/2 könntest du noch rausziehen, aber das ist Geschmackssache.

Die beiden komplexen Nullstellen sind übrigens \( -\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2} \)i und   \( -\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2} \)i.

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Ich muss im Reellen bleiben, da dies eine Schulaufgabe und keine Uni Aufgabe ist :P

- Wie würde der Term dann aussehen, wenn ich den Faktor 1/2 rausziehe?

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Du kannst nicht 1/2 aus (1/2x² + 1/2x +1/2) ausklammern?

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Klar.

-> 1/2 * (x²+x+1)

Dann eine Frage obwohl ich danach nicht gefragt habe.

-> Kann man die komplexen Nullstellen überhaupt grafisch darstellen wie die reellen nullstellen?

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Ja, in der Gaußschen Zahlenebene kann man Punkte eintragen.

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Okay, bis ich mich damit beschäftigen muss, dauert es noch 1-2 Jahre.

Aber danke für deine Antwort. Habe dir die beste Antwort gegönnt :)

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Nur die zweitbeste Antwort zu geben ist auch ziemlich schwer, wenn man die einzige Antwort gegeben hat.

;-)

Ich bilde mir also erst mal nicht allzu viel darauf ein.

Trotzdem vielen Dank.

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Studierst oder hast du Mathe studiert?

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Seit ca. 35 Jahren Mathelehrer ...

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Okay, damit habe ich jetzt nicht gerechnet.

Wenn ich fragen darf, was bringt es dir hier Leuten zu helfen? Einfach ein Hobby oder bekommst du dafür eine Entschädigung? :)

Answer 2

1/2·x^3 + 2·x^2 + 2·x + 3/2

Faktor 1/2 ausklammern

= 1/2·(x^3 + 4·x^2 + 4·x + 3)

Ganzzahlige Nullstellen müssten Teiler der 3 sein. man findet -3 als Nullstelle und führ eine Polynomdivision oder das Horner Schema durch

(x^3 + 4·x^2 + 4·x + 3) / (x + 3) = x^2 + x + 1

= 1/2·(x + 3)·(x^2 + x + 1)

Für die Nullstellen des quadratischen Terms nehmen wir die pq-Formel

x = - 1/2 ± √(1/4 - 1) = x = - 1/2 ± √(3/4)·i

= 1/2·(x + 3)·(x + 1/2 - √(3/4)·i)·(x + 1/2 + √(3/4)·i)

Damit hat man alle Nullstellen im Bereich der komplexen Zahlen und auch alle Linearfaktoren.