Betrag quadrieren immer zulässig?

Question

Wenn man eine Betragsgleichung hat bzw. auf beiden Seiten nur Beträge z.B.: |x-3|=|4+x| kann man ja beide Seiten quadrieren und das ist klar.

Frage: in welchem Fall ist das unzulässig? Ich weiß, dass es gewisse Fälle gibt, bei denen das quadrieren der Beträge mathematisch illegitim ist. Wann kann man das Betrag nicht mehr quadrieren? Oder nur wenn neben einem Betrag etwas ohne Betrag steht ?

Answer 1

Reine Beträge wie in deiner Gleichung kannst du immer quadrieren. Wenn außerhalb des Betrages noch etwas steht, dann bekommt man eventuell Scheinlösungen.

Es gilt immer

|z|^2 = |z| * |z| = |z^2| = z^2

Deine Gleichung löst man dann wie folgt:

|x - 3| = |4 + x|
x^2 - 6x + 9 = 16 + 8x + x^2
-14x = 7
x = -1/2

Comments

Wenn man reine Beträge in einer Ungleichung hat, gilt das auch dafür ?

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Ja. Dafür gilt das auch.

Answer 2

Mit Fallunterscheidung:

1. Fall: x<-4

-x+3=-4-x

3=-4 falsch

2.Fall:

-4<=x<3

-x+3 = 4+x

2x= -1

x= -1/2

3. Fall:

x>3

x-3= 4+x

3= 4 falsch

-> L= {-1/2}