Beweisen von summe verschiedener Skalarprodukten = 0

Question

Aufgabe:

Beweisen Sie, dass für jedes Dreieck \( A B C \) und jeden Punkt \( P \),
$$ \overrightarrow{P A} \cdot \overrightarrow{B C}+\overrightarrow{P B} \cdot \overrightarrow{C A}+\overrightarrow{P C} \cdot \overrightarrow{A B}=0 $$

Problem/Ansatz:

ich habe keine ahnung wie man so etwas lösen kann. Ich weiss, dass es die Einzelne Terme skalarprodukte sind die Senkrecht aufeinander liegen. Wie kann man am besten beweisen.

Answer 1

Setze jeweils für die Verbindungsvektoren die Vektordifferenz ein, also z.B. $$ \vec{AB} = \vec{B}-\vec{A} $$ Das ergibt dann

$$ (A-P)(C-B)+(B-P)(A-C)+(C-P)(B-A) $$ Das ausmultiplizieren und bedenken das gilt \( AB = BA \) weil das Skalarprodukt symmetrisch ist, ergibt das Ergebnis.