Bestimmen Sie die Fläche von Funktion

Question

ich habe eine Aufgabe wie unten,

Text erkannt:

Die Menge \( \Omega \) hat folgende Gestalt:
Bestimmen Sie
$$ \int \limits_{\Omega}\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d}(x, y) $$

und hier ist meine Lösung

\( \int\limits_{0}^{2} \)\( \int\limits_{0}^{1} \) oder \( \int\limits_{1}^{2} \)\( \int\limits_{0}^{1} \)

$$ \int \limits_{\Omega}\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d}(x, y) $$

= \( \int\limits_{0}^{2} \)\( \int\limits_{0}^{1} \)(x²+y²)dydx

=  \( \int\limits_{0}^{2} \) [x²y + \( \frac{1}{3} \)y³ ]dx| y=1, y=0

=  \( \int\limits_{0}^{2} \) (x² + \( \frac{1}{3} \)) dx

=  [\( \frac{1}{3} \)x³ +\( \frac{1}{3} \)x] | x = 2, x=0 

= \( \frac{10}{3} \)

Comments

weißt jemand?

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Kann man das nicht elementargeometrisch lösen?

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Wo hast du denn hier die Schräge berücksichtigt?

\(\int_0^1 \int_0^x (x^2+y^2) dy dx + \int_1^2 \int_0^1 (x^2+y^2) dy dx = 3\)

Schau mal ob Du das bestätigen kannst. Das erste Integral ist dabei für das Dreieck verantwortlich. Für den y-Teil haben wir hier eine Veränderliche (Mit der Funktion x). Für den zweiten Teil (das Quadrat) ist der y-Teil dann konstant.

@Roland: Rein geometrisch geht das nur, wenn die zu integrierende Funktion 1 ist. Dann entspricht das tatsächlich dem Flächeninhalt. Das ist hier nicht der Fall.

Answer 1

\(\begin{aligned}&\int \limits_{\Omega}\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d}(x, y)\\ =\,& \int \limits_0^1\int\limits_0^x\left(x^{2}+y^{2}\right)\mathrm{d}y\mathrm{d}x + \int\limits_1^2\int\limits_0^1\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d}y\mathrm{d}x\end{aligned}\)