Zeige, dass (Sn,*) eine Gruppe ist.

Question

Aufgabe:

Sei Sn die Menge der Bijektiven Abbildungen {1,2,3,...,n} -> {1,2,3,...,n} und sei * (nicht Multiplikation, auf dem Übungsblatt steht ein Kreis)  die Zusammenführung der Abbildungen.

1) Zeige, dass (Sn,*) eine Gruppe ist.

2) Zeige, dass (Sn,*) nicht abelsch ist, wenn n grösser/gleich 3

Problem/Ansatz:

1) Mein Problem: Wenn ich die Opperation (also *) nicht definiert habe, wie kann ich beweisen, dass das Assoziativgesetz trotzdem gilt und auch ein neutrales Element kann ich nicht finden.

2) Ein beweis konnte ich auf die Beine stellen bei n=3, Also mein Beweis: Ich betrachte zwei Bijektionen a und b:

a(1)=2,a(2)=1 und a(3)=3 und b(1)=1,b(2)=3 und b(3)=2

Nun ist b*a von 1 :b(1)=1 und a(1)=2

a*b von 1: a(1)=2 b(2)= 3, also nicht kommutativ

Aber wie kann ich zeigen, dass das für alle n>3 auch gilt?

Comments

Wenn ich die Opperation (also *) nicht definiert habe, wie kann ich beweisen, dass das Assoziativgesetz trotzdem gilt und auch ein neutrales Element kann ich nicht finden.

Die Gruppenoperation * ist die Verkettung zweier (binektiver) Abbildungen .

Die Assioziativität ist nachzurechnen. Das neutrale Element ist die Identität.

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Mir ist gerade aufgefallen, dass ich bei meinem Beweis, falschherum gerechnet habe. Bei b*a(1) wäre natürlich erst a(1) und dann b(a(1)). Aber ist ja trotzdem ungleich.

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@Gast jc2144 vielen Dank, diesen Teil verstehe ich nun. :)

Answer 1

Und das es für alle n größer 3 auch gilt, kannst du ja

dadurch zeigen, dass du deine beiden Abbildungen so erweiterst,

dass für alle x>3 immer a(x) = b(x) gilt.

Dann gilt dein Gegenbeispiel auch dort.

Answer 2

2.) Definiere deine Funktion zu n=3 doch einfach weiter:

$$a(x)=\begin{cases} 2, \ x=1 \\ 1, \ x=2 \\ x, \ x\in [3,n] \end{cases}, \ b(x)=\begin{cases} 3, \ x=2 \\ 2, \ x=3 \\ x, \ x\in [1,n]\setminus [2,3] \end{cases}$$

Dann gilt immernoch

$$b(a(1))=b(2)=3 \neq 2 = a(1)=a(b(1))$$

im Widerspruch zur Kommutativität.