Unterschied zwischen linearem und exponentiellem Wachstum?

Question

Können Sie mir den Unterschied zwischen linearem und exponentiellem Wachstum erklären?

Comments

Siehe auch Erklärungen unter https://www.matheretter.de/wiki/exponentielles-wachstum

Answer 1

Bei einem linearen Wachstum nimmt der Funktionswert in gleichen Zeiten immer um den gleichen Wert zu.

Bei einem exponentiellen Wachstum nimmt der Funktionswert in gleichen Zeiten immer um den gleichen Prozentualen Anteil zu.

Comments

..Dankeschön..

Answer 2

Aloha :)

Bei linearem Wachstum wird zu einer Größe \(G\) pro Zeiteinheit immer ein konstanter Wert \(g\) addiert. Ausgehend von einem Startwert \(G_0\) hat die Größe \(G(n)\) also den Wert:

$$G(0)=G_0$$$$G(1)=G_0+g$$$$G(2)=G(1)+g=(G_0+g)+g=G_0+2\cdot g$$$$G(3)=G(2)+g=(G_0+2\cdot g)+g=G_0+3\cdot g$$$$G(n)=G_0+n\cdot g$$

Bei exponentiellem Wachstum wird eine Größe \(G\) pro Zeiteinheit immer mit einem konstanten Wert \(g\) multipliziert. Ausgehend von einem Startwert \(G_0\) hat die Größe \(G(n)\) also den Wert:

$$G(0)=G_0$$$$G(1)=G_0\cdot g$$$$G(2)=G(1)\cdot g=(G_0\cdot g) \cdot g=G_0\cdot g^2$$$$G(3)=G(2)\cdot g=(G_0\cdot g^2)\cdot g=G_0\cdot g^3$$$$G(n)=G_0\cdot g^n$$

Das kann man noch verallgemeinern, wenn man zulässt, dass \(n\) nicht ganzzahlig sein muss.

Answer 3

Beispiel 1. Ein Abend im Club kostet 5 € Eintritt und 5 € pro Getränk. Ich habe schon 1 Getränk intus. Das macht 10 €. Ich kaufe noch ein Getränk. Ich muss dann insgesamt 15 € bezahlen. Die Änderung von 10 € auf 15 € kann man auf zwei Arten rechnen:

• 10 € + 5 € = 15 €
• 10 € · 1,5 = 15 €

Beispiel 2. Jede Person, die mit COVID-19 infiziert ist, steckt am Tag 1,5 weitere Personen an und wird dann gesund. Es gibt 10 Infizierte. Am nächsten Tag gibt es dann 15 Infizierte. Die Änderung von 10 Infizierte auf 15 Infizierte kann man auf zwei Arten rechnen:

• 10 Infizierte + 5 Infizierte = 15 Infizierte
• 10 Infizierte · 1,5 = 15 Infizierte
  

Der entscheidende Unterschied zwischen exponentiellem Wachstum und linearem Wachstum ist folgender:

In der ersten Rechnung von Beispiel 1 gelten die "+5" egal wieviele Getränke ich schon intus habe. Auch wenn ich schon 30 € bezahlen muss, muss ich beim Kauf eines weiteren Getränkes 30 € + 5 € = 35 € bezahlen. Der Faktor "·1,5" gilt dann aber nicht mehr. Es ist nämilch nicht 30 € · 1,5 = 35 €. Deshalb handelt es sich bei Beispiel 1 um sogenanntes lineares Wachstum.

In der zweiten Rechnung von Beispiel 2 gelten die "·1,5" egal wieviele Infizierte es im Moment gibt. Auch wenn es schon 30 Infizierte gibt , gibt es am nächsten Tag 30 Infizierte · 1,5 = 45 Infizierte. Der Summand "+5" gilt dann aber nicht mehr. Es ist nämlich nicht 30 Infizierte + 5 Infizierte = 45 €. Deshalb handelt es sich bei Beispiel 2 um sogenanntes exponentielles Wachstum.

BTW.: Tatsächlich sind es bei COVID-19 nicht ein Tag, sondern 4 Tage und die Anzahl der Ansteckungen schwankt in letzter Zeit zwischen 1 und 1,2.

Answer 4

Beim exponentiellen Wachstum ist die Steigung immer proportional zur Größe, beim linearen Wachstum ist die Steigung immer konstant.

Answer 5

lineares Wachstum ist
w ( t ) = m * t + b ( Der Graph ist eine Gerade )
Wegstrecke eines Autos bei konstanter Geschwindigkeit

exponentionelles Wachstum
w ( t ) = a ^ t ( die Variable ist im Exponenten )
Zinsrechnung
Bakterienkultur
Radioaktiver Zerfall