rechtwinkliges Dreieck OAB

Question

Wir betrachten ein bei O rechtwinkliges Dreieck OAB mit den Kathetenlängen |OA| = a und |OB| = b, wobei in allen Aufgabenteilen a > b sein soll.
Sei C der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten der Strecke AB mit der Strecke OA.

a) Weisen Sie für die Länge |BC| der Strecke BC nach, dass \(|BC| = \frac{a^2+b^2}{ 2a }\) gilt.

b) Geben Sie ein Beispiel für positive ganze Zahlen a und b an, für welches die Länge |BC| ganzzahlig ist.
Geben Sie ein Beispiel für positive ganze Zahlen a und b an, für welches die Länge |AB| ganzzahlig ist.

c) Geben Sie ein Beispiel für positive ganze Zahlen a und b an, für welche die Längen der Seiten und der Höhen des Dreiecks ABC sämtlich ganzzahlig sind.

Hinweis: Die positiven ganzen Zahlen sind die Zahlen 1, 2, 3, 4, 5, . . . In b) und c) ist selbstverständlich jeweils zu zeigen, dass die angegebenen Beispiele die gewünschten Eigenschaften auch haben.

Aufgabe a ist relativ unspektakulär und schnell nachweisbar. Allerdings bei b können nicht alle 3 Seiten ganze Zahlen ergeben, wenn a größer b sein soll?

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Könnte man bei der Aufgabe helfen?

Stichworte: rechtwinkliges-dreieck

Aufgabe:

Wir betrachten ein bei O rechtwinkliges Dreieck OAB mit den Kathetenlängen |OA| = a und
|OB| = b, wobei in allen Aufgabenteilen a > b sein soll.
Sei C der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten der Strecke AB mit der Strecke OA.
a) Weisen Sie für die Länge |BC| der Strecke BC nach, dass |BC| = a2+b2 gilt. 2a
b) Geben Sie ein Beispiel für positive ganze Zahlen a und b an, für welches die Länge |BC| ganzzahlig ist.
Geben Sie ein Beispiel für positive ganze Zahlen a und b an, für welches die Länge |AB| ganzzahlig ist.
c) Geben Sie ein Beispiel für positive ganze Zahlen a und b an, für welche die Längen der Seiten und der Höhen des Dreiecks ABC sämtlich ganzzahlig sind.
Hinweis: Die positiven ganzen Zahlen sind die Zahlen 1, 2, 3, 4, 5, . . .
In b) und c) ist selbstverständlich jeweils zu zeigen, dass die angegebenen Beispiele die ge-
wünschten Eigenschaften auch haben.

Problem/Ansatz:

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Schau mal auf der verlinkten Seite

https://www.mathelounge.de/757065/rechtwinkliges-dreieck-oab

ob dort deine Fragen beantwortet werden. Wenn nicht stelle dort deine zusätzliche Frage.

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Danke für deine Antwort.

Aber was kommt bei a und b raus denn da wurde nur c berechnet.

Gruß

Answer 1

Die Aufgabe c) ist richtig gestellt. Ich habe: a=160 b=120 => AB=200

|BC|=(a^2+b^2)/2a=125

Für |MC| ergibt sich MC^2=BC^2-(AB/2)^2=75

LG

Comments

Endlich jemand der die Aufgabe verstanden hat.

Sehr gut gemacht.

Answer 2

Geben Sie ein Beispiel für positive ganze Zahlen a und b an, für welches die Länge |AB| ganzzahlig ist.

Ein solches Tripel von Zahlen heißt pythagoreisches Tripel und das kleinste ist (3, 4, 5).

Answer 3

c) Geben Sie ein Beispiel für positive ganze Zahlen a und b an, für welche die Längen der Seiten und der Höhen des Dreiecks ABC sämtlich ganzzahlig sind.

a=20, b=15 dann ist h=12 und AB=25.

Comments

a=20, b=15 dann ist h=12 und AB=25.

Sind AC und BC in dem Fall ganzzahlig oder habe ich die Frage falsch verstanden.

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Es geht um BC und AB. Ich denke das die eine Frage nach BC ist und die andere nach AB. Ich glaube nicht das alles gleichzeitig erfüllt sein soll.

Zumindest bei b

Bei c, sollen alle Seiten ganzzahlig sein, sowie die Höhe h.

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Es geht um BC und AB. Ich denke das die eine Frage nach BC ist und die andere nach AB. Ich glaube nicht das alles gleichzeitig erfüllt sein soll.

Zumindest bei b

Dann ist die Aufgabe meiner Meinung nach FALSCH gestellt.

Answer 4

Geben Sie ein Beispiel für positive ganze Zahlen a und b an, für welches die Länge |BC| ganzzahlig ist.

a=8; b=4; BC=5

Die Länge der Hypotenuse muss ja nicht ganzzahlig sein.

:-)

Comments

|OA| = a und |OB| = b, die sollen ganzzahlig sein sowie BC.

Wenn ich 8²+4²: (8*2) rechne komme ich auf 5, nicht auf 10, oder habe ich einen Denkfehler? Zumindest kommt eine ganze Zahl raus. Danke

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Hallo Träumer,

du hast natürlich Recht. Ich verbessere das in meiner Antwort.

:-)

Answer 5

Hallo

wenn du ein pythagoreisches Dreieck hast, musst du doch die Seiten nur so lange mit 2 multiplizieren, bis BC=AC  =c^2/2a ganz ist.

etwa 3,4,5 dann hast du  BC=5^2/8 nicht ganz aber  4^2*3^2+4^2*4^2=5^2*4^2 und 5^2*4^2 ist durch 8 teilbar. entsprechend mit allen einfachen pythagoreischen Drippeln.

Gruß lul

Comments

Das Problem ist, dass a größer wird. 25*16 müsste durch 32 teilbar sein, nicht durch 8.

:-)

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Hallo

Danke Monty, dumm von mir

lul

Answer 6

a) Weisen Sie für die Länge |BC| der Strecke BC nach, dass |BC|=(a^2+b^2)/2a gilt.

Ich würde gerne das C durch D ersetzen

dann kann ich mit dem bekannten

c aus c^2= a^2 + b^2

argumentieren

|AD|= |BD|

|AD|/ 0,5c = c/a

|AD|= c^2 / 2a =( a^2+ b°2)/2a=|BD|

jetzt zurück

( a^2+ b°2)/2a=|BC|

b) b=24. a= 32  c=40  c^=1600

1600/64= 25= |BC|