Finden Sie einen vektor x2 ∈ R5 mit der Eigenschaft A*vektorx1 = A*vektorx2 und x1 != x2

Question

Aufgabe:

\( A=\left(\begin{array}{ccccc}1 & 0 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 0 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 3 & 3 & 7\end{array}\right) \)

Finden Sie einen vektor x2 ∈ R⁵ mit der Eigenschaft A*vektorx1 = A*vektorx2 und x1 != x2
wobei x1 = (1, 1, 1, 1, 1)T
.
Hinweis: Eine mögliche Herangehensweise:
Was wissen Sie über: x2 − x1 =: vektor v ?

Problem/Ansatz:

Weder der Hinweiß bringt mir was, noch das Einsetzen des vektors x1 in die gleichung

Comments

Löse Av=0 mit v≠0. Wähle x₂=x₁+v. Dann gilt x₁≠x₂ und Ax₁=Ax₁+Av=A(x₁+v)=Ax₂.

Answer 1

Da gilt:

[3, -1, 3] = [2, 0, 3] - [0, 1, 1] + [1, 0, 1]

ist noch eine Lösung

x2 = ([1, 1, 1, 1, 1] + 1·[1, -1, 1, -1, 0])^T = ([2, 0, 2, 0, 1])^T

Comments

Ich stehe grad auf dem Schlauch. Wie geht du da allgemein vor?

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Ich stelle nur den 4. Spaltenvektor aus den ersten drei Spaltenvektoren dar.

Dann kann ich im folgenden statt dem viertel Spaltenvektor einfach mehr bzw. weniger von den ersten drei Vektoren nehmen.

Answer 2

Der Hinweis soll dir sagen:

A*vektorx1 = A*vektorx2

<=> A*(vektorx1 -vektorx2) = 0-Vektor

==>  vektorx1 -vektorx2 ist eine Lösung des homogenen

Gleichungssystem A*x = 0.

Matrix auf Stufenform gibt

1 0 2 3 4
0 1 0 -1 1
0 0 1 1 2

Also ist z.B. eine Lösung, die vom 0-Vektor verschieden ist,

-1
0
-3
1
1

Diese zu dem gegebenen x1-Vektor addiert

liefert dir z.B einen geeigneten x2-Vektor.