Bestimmen Sie für die Ableitung f' die Nullstellen und das Vorzeichen von f'(x) sowie für den Graphen von f' …

Question

Aufgabe: Gegeben ist der Graph einer ganzrationalen Funktion f mit Df=R. Bestimmen Sie für die Ableitung f' die Nullstellen und das Vorzeichen von f'(x) sowie für den Graphen von f' möglichst genau das Monotonieverhalten und die Art und die Koordinaten der Exrempunkte. Skizzieren Sie den Graphen von f'.

Problem/Ansatz:

Die Aufgabe habe ich schon gelöst. Nur bin ich nicht selbst bei den Koordinaten der Extrempunkte auf den y-Wert bzw. m -4 gekommen. Kann mir jemand erklären wie man auf die -4 beim Tiefpunkt kommt? Ich wäre extrem dankbar :)

Text erkannt:

\( (a) \)

Text erkannt:

\( \left.f^{\prime}(x)<0=\right]-\infty_{i}-3[u .]-3 ; [0 \)
\( f^{\prime}(x)>0: J_{0} ; \infty[ \)
\( f^{\prime}(x)<0 \quad f^{\prime}(x)>0 \quad f^{\prime}(x)<0 \)
\( \rightarrow \) bei \( x=-3 \) hat \( G_{f} \) einen tiochpunkt, weil \( G_{f} \) be \( x=-3 \) ist ein TEP A dopperte NSt bé Gf
\( \rightarrow \) Steigung bei \( x=-1 \) ist \( m=-4 \)
\( \rightarrow T P(-1 \mid 4) \quad H P(-310) \)

Text erkannt:

\( \left.f^{\prime}(x)<0=\right]-\infty_{i}-3[u .]-3 ; [0 \)
\( f^{\prime}(x)>0: J_{0} ; \infty[ \)
\( f^{\prime}(x)<0 \quad f^{\prime}(x)>0 \quad f^{\prime}(x)<0 \)
\( \rightarrow \) bei \( x=-3 \) hat \( G_{f} \) einen tiochpunkt, weil \( G_{f} \) be \( x=-3 \) ist ein TEP A dopperte NSt bé Gf
\( \rightarrow \) Steigung bei \( x=-1 \) ist \( m=-4 \)
\( \rightarrow T P(-1 \mid 4) \quad H P(-310) \)

Comments

Welcher der beiden Graphen soll berechnet
werden. ?

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Der gedruckte Graph ist der Ursprungs Graph. Das geschriebene ist meine Lösung. Meine Frage ist, wie man auf die -4 beim Tiefpunkt kommt :) (p.s. hab vergessen -4 hinzuschreiben)

Answer 1

Da die Koorordinaten keine ganzen Zahlen sind
( ausser 0 | 0 ) müßte man ein LIneal zu Hilfe nehmen
und ausmessen.
Am Wendepunkt x = -1 könnte man ein Steigungsdreieck
( Tangente ) einzeichnen und über delta y / delta x
die Steigung ermitteln.

Answer 2

Nur bin ich nicht selbst bei den Koordinaten der Extrempunkte auf den y-Wert bzw. m -4 gekommen. Kann mir jemand erklären wie man auf die -4 beim Tiefpunkt kommt? Ich wäre extrem dankbar :)

Ach ich habs kapiert was du meinst. Du zeichnest die Tangente an der Stelle x = -1 ein und bestimmst die Steigung. Die Steigung ist ungefähr m = -4

Funktion und Ableitung sollten in etwa wie folgt aussehen:

~plot~ 7/27·x^4 + 56/27·x^3 + 14/3·x^2;28/27·x^3 + 56/9·x^2 + 28/3·x;[[-8|8|-12|12]] ~plot~

Comments

Die Funktion ist aber nicht in der Aufgabe gefragt.

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Das ist mir schon klar. Ich wollte das auch nur einfach mal skizzieren, wie das ausschauen musste, damit du dir das vorstellen kannst.

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Gf ist in  ] 0 ; ∞ [ linksgekrümmt oder?

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Ja, ist doch eine Linkskurve.

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Aber warum ist bei x = -1 ein Wendepunkt, dort ist es doch auch linksgekrümmt bis zum Sattelpunkt?

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Dort in etwa ändert sich doch das Krümmungsverhalten. Außerdem steht in der Aufzeichnung nur "ca.", weil sowas nur schwierig abzulesen ist. Denk nochmal an die Straße: Irgendwo auf diesem Stück musst du doch das Lenkrad in die entgegengesetzte Richtung drehen...

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Gibt es da auch eine "mathematischere" Methode um das zu erkennen außer dem Fahrrad, z. B. bei Funktionen 3. Grades ist der Wendepunkt ja immer zwischen HOP und TIP, gibt es das bei 4. Grades mit Sattelpunkt auch z. B. zwischen Sattelpunkt und TIP muss ein Wendepunkt o. Ä . sein?

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Aussagen wie

Bei ganzrationalen Funktionen (Polynomen) muss sich zwischen zwei Punkten mit waagerechter Tangente immer (mind.) ein Wendepunkt befinden.

sind allerdings optisch weniger genau als Aussagen wie

Zwischen einer rechts und einer Linkskrümmung muss sich (mind.) ein Wendepunkt befinden.

Skizze

~plot~ x^3+x ~plot~

In der Skizze siehst du zwar keine Stellen mit waagerechter Tangente, aber einen Übergang einer Rechts- in eine Linkskurve und damit weißt du, dass dort auch irgendwo ein Wendepunkt sein muss.

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Sattelpunkte und Extrempunkte liegen ja vor, wenn die erste Ableitung eine Nullstelle hat. Bei ganzrationalen Funktionen muss aber zwischen zwei Nullstellen ein Extrempunkt liegen. Das folgt dazu, dass die Ableitung zwischen den beiden Nullstellen extremal wird. Das wiederum bedeutet aber, dass die Ausgangsfunktion eine extremale Steigung hat und somit ein Wendepunkt vorliegt.

Eine Links- bzw. Rechtskrümmung sollte man aber auch ohne solcher Aussagen erkennen können. Und dann kann man auch erkennen, wo sich die Krümmung ändert.

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Bei ganzrationalen Funktionen (Polynomen) muss sich zwischen zwei Punkten mit waagerechter Tangente immer (mind.) ein Wendepunkt befinden.

Genauso sowas habe ich erwartet, komisch, dass ich das noch nie von meinem Lehrer gehört habe. Jetzt kann ich gut in die Prüfung rein gehen, das mit dem Fahrrad o. Ä verwirrt mich nur noch mehr.

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@Der_Mathecoache habe ich bei einer Aufgabe markiert kannst da mal bitte schauen weiß nicht ob man hier Benachrichtigt wird bei Markierungen.

Answer 3

Bedingung Maximum f´(x)=0 und f´´(x)<0

Bedingung Minimum f´(x)=0 und f´´(x)>0

Bedingung Wendepunkt f´´(x)=0 und f´´´(x)≠0

Bedingung Sattelpunkt f´´(x)=0 und f´´´(x)≠0 und f´(x)=0

Infos,vergrößern und/oder herunterladen

Text erkannt:

Kurvendiskusaion \( f^{\prime}(x)=0 \quad \) and \( f^{\prime}:(x) \)
$$ \text { NULL } f^{\prime}(x)-0 $$
Hinweis: Der "Sattelpunkt" (Terrassenpunkt oder STufenpunkt) \( 13 \mathrm{t} \) ein besonderer Wendepunkt, bel dem die Tangentenstetgung NULL Ist.
$$ f^{*}(x)=m=0 $$
Der "Wendepunkt" trennt 2 Kurvenboren, "konkav" und "konvex" Krummung "k" aus dem Mathe-Pormel buch, Kapitel, "Differentialgeometrie". Forme \( 1 \quad k=y^{\prime} \cdot \nu\left(1+\left(y^{\prime}\right)^{2}\right)^{(3 / 2)} \)
\( k<0 \) konvex (Rechtskrumung) von oben gesehen \( k>0 \) konkav (Linkskrumang) von oben gesehen
\( y^{\prime}-f^{\prime}(x) \) ist die \( 1 . \) te
$$ y=f(x)=\ldots $$
Parabel
$$ f(x)=a 2 * x^{2}+a 1 * x+a o $$
\( f^{\prime}(x)=2^{*} a 2^{*} x+a 1 \)
\( f^{\prime} \cdot(x)=2^{*} a 2 \quad \) hat somit "kelnen Wendepunkt \( ^{\prime \prime} \)
kubische Punktion \( f(x)=a 3 * x^{3}+a 2 \cdot x^{2}+a 1 * x+a \)
\( f^{\prime \prime} \cdot "(x)=6^{*} a^{3} \)
biguadratische Punktion Diese Funktion ergibt sich aus der "ganzrationalen Funktion \( 4 . \) Gra des" \( y=f(x)=a 4^{*} x^{4}+a 3 * x^{3}+a 2 * x^{2}+a 1 * x+a o \)
Bed 1 ngung "Achssymmetrie" \( f(x)=f(-x) \) und Exponenten negerade "Punktsynetrie" \( f(x)=-1 * f(-x) \) "