Wie viele derartige Paare von Kreisringen gibt es in dieser Darstellung?

Question

Zehn konzentrische Kreise haben die Radien 1, 2, 3, …,10. Man kann leicht zeigen, dass die gelb und orange dargestellten Kreisringe den gleichen Flächeninhalt haben:

Wie viele derartige Paare von Kreisringen gibt es in dieser Darstellung von 10 konzentrischen Kreisen?

Comments

sind überlappende Paarungen zulässig?

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darf man den "Kreisring" mit Innendurchmesser=0 (den inneren Kreis) auch benutzen?

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@ Werner:

Beide Fragen möchte ich mit "ja" beantworten. Ob allerdings auch ein Kreis als Kreisring zu betrachen ist, kann man bezweifeln.

Answer 1

Hallo Roland,

das sind meine 9 Paare, mit Überlappung und unter Einbeziehung des inneren Kreises: $$\begin{aligned} 10^2-8^2 &= 6^2 - 0^2 &=36\\ 10^2-6^2 &= 8^2 - 0^2 &=64\\ 9^2-7^2 &= 6^2 - 2^2 &=32\\ 9^2-6^2 &= 7^2 - 2^2 &=45\\ 8^2-7^2 &= 4^2 - 1^2 &=15\\ 8^2-4^2 &= 7^2 - 1^2 &=48\\ 7^2-5^2 &= 5^2 - 1^2 &=24\\ 5^2-4^2 &= 3^2 - 0^2 &=9\\ 5^2-3^2 &= 4^2 - 0^2 &=16 \end{aligned}$$

Answer 2

Es gibt 3 Paare solcher Kreisringe

4^2 - 1^2 = 8^2 - 7^2 = 15

5^2 - 1^2 = 7^2 - 5^2 = 24 --> Die beiden obigen Kreisringe

6^2 - 2^2 = 9^2 - 7^2 = 32

Answer 3

Für R<11

Ich habe 3 Paare gefunden, wenn wir r=R ausschließen

(5-1)*(5+1)=( 7-5)*(7+5)=24

(7-1)*(7+1)=(8-4)*(8+4)=48

(6-2)*(6+2)=(9-7)*(9+7)=32

Mit dem vom Mathecoach sind es dann 4

(4-1)(4+1)=(8-7)*(8+7)=15

(5-4)(5+4)=(3-0)*(3+0)

Ist das auch ein Ring? Wenn ja, sind es 5

(5-3)(5+3)=(4-0)* (4+0)        n=6

(10-8)(10+8)=(6-0)(6+0)      n=7

(10-6)(10+6)= ( 8-0)(8+0)     n=8

Jetzt bin ich bei 8 mit Überlappung

Ja, die hatte ich übersehen, dabei lag die Lösung so nah, danke Werner.

(7-2)*(7+2)=(9-6)*(9+6)=45 n=9

Comments

Mit dem vom Mathecoach sind es dann 4

ich habe 5 (ohne Überlappung) ;-)

Answer 4

Wie die anderen Antworten schon zeigen, läuft es auf die Differenz zweier Quadratzahlen hinaus, die auf zwei Arten darstellbar sein muss. (Alle Variablen stellen natürliche Zahlen dar.)

a^2-b^2=c^2-d^2

(a+b)*(a-b)=(c+d)*(c-d)

p*q=r*s

Wir suchen also Zahlen, die mindestens vier verschiedene Teiler besitzen.

Damit fallen die Primzahlen und ihre Quadrate weg.

Wenn p=a+b ungerade ist, ist auch q=a-b ungerade. r und s sind dann ebemfalls ungerade.

3*5=1*15 → (4-1)*(4+1)=4^2-1^2 und 8^2-7^2

Weitere Kandidaten

3*7=1*21 → 5^2-2^2=11^2-10^2

Das ist allerdings mit 11^2 zu groß.

Damit ist 15 die einzige ungerade Zahl, die hier passt.

Bei den geraden Zahlen gibt es einige Kandidaten mehr.

24, 32 und 48 wurden bereis in den anderen Antworten genannt.

24=2*12=4*6

32=2*16=4*8

48=2*24=4*12=6*8

Bei 48=2*24=(13-11)*(13+11)=169-121 sind die Radien aber schon zu groß.

Die gesuchten Flächeninhalte müssen durch 8 teilbar sein, weil nun alle Faktoren gerade sein müssen.

8 und 16 fallen weg.

Wie ist es mit 40?

40=2*20=4*10

121-81=40; 49-9=40 → zu groß

Und 64?

64=4*16=(10-6)*(10+6)=10^2-6^2

64=8^2-0^2=17^2-15^2 geht leider nicht.

Also gibt es wohl vier Paare von Kreisringen, die die Bedingungen erfüllen.

:-)

PS

Wenn der innere Radius Null sein darf, sind es natürlich ein paar mehr.

Comments

Ohne r=0 sind es 5 Lösungen, eine hatten wir übersehen.Dabei ist der Zusammenhang ganz einfach.

Denn wenn es eine Lösung

$$ (a;b)= (c;d) $$

$$ a^2-b^2=c^2-d^2 $$ gibt,

dann existiert für $$ b≠c $$

Auch eine Lösung

$$ (a;c)=(b;d) $$

$$ a^2-c^2=b^2-d^2 $$

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Hallo Hogar,

stimmt, mit deinem Tipp ist die 45 ganz logisch.

Interessant finde ich, dass es offensichtlich nur auf die Lösung ankam und dass der Lösungsweg wohl keine Rolle spielt. Naja, ist ja auch egal.

:-)

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Hallo MontyPhyton,

interessant finde ich es mittlerweile nicht mehr, denn es kam vermutlich nicht nur auf die Lösung an.

https://www.mathelounge.de/757354/zeige-das-dreieck-abg-und-das-viereck-egfd-sind-flachengleich

Aber trotzdem ist es egal.

Alles Gute, Hogar