und irgendetwas allgemein zu beweisen ist mir noch etwas fremd
Das geht jedem am Anfang so. Grundsätzlich gilt erstmal, immer die Definitionen parat zu haben, dir dir im Prinzip sagen, was du beweisen musst.
Hier geht es um Gruppenhomomorphismen, ker(f), Isomorphismus, Inverse Abbildung. Also kannst du schonmal die Definitionen davon hervorrufen.
Zu a). Weil du allgemein bleiben wirst, musst du auch allgemein beschriebene Objekte betrachten. Hier geht es um einen beliebigen Gruppenhomomorphismus \(f:G\rightarrow H\), mit zwei Gruppen: \((G;*)\) (undendlich) und \((H,\circ)\) (endlich).
Plan:
Nun sollst du eine Implikation zeigen: \(A\Rightarrow B\), wobei jeweils gilt:
Aussage \(A:=\),,G ist eine unendliche Gruppe und H eine endliche Gruppe".
Aussage \(B:=\),,\(\text{ker}(f)\) ist nicht trivial.", was gleichbedeutend zu
,,\(\text{ker}(f)\) enthält mehr als nur \(e\in G\)." ist.
Ok, soweit erstmal der Plan. Jetzt stellt sich die wohl wichtigeste Frage: Wie beweist man eine Aussage? Da gibt es jetzt mehrere Ansätze, die theoretisch funktionieren würden, aber unter Umständen in der Praxis sehr sehr komplizierte Auswüchse mitbringen können. Aber welches Prinzip nun der elleganteste/am besten geeignet/am einfachsten ist, lässt sich nur durch Probieren und Scheitern herausfinden.
Einige Prinzipien zum Beweisen sind:
-> Direkter Beweis: Hier zeigt man die ,,Originalaussage" \(A\Rightarrow B\)
-> Kontraposition (aka indirekter Beweis): \(\neg B\Rightarrow \neg A\) zeigen.
-> Widerspruchsbeweis: Zeige \(A\land \neg B\)
Nun zum Beweis. Hier würde zb ein direkter Beweis schnell diese Aussage zeigen:
Es seien \((G;*)\) eine undendliche und \((H,\circ)\) endliche Gruppe, wobei \(H:=\{h_1,...,h_n\}\) gilt und \(f:G\rightarrow H\) ein Gruppenhomomorphismus ist.
So fängt man immer bei Beweisen an. Man schreibt immer hin, was gegeben ist. Es gibt aber auch Mathematiker, die gerne diesen Teil weglassen und gleich zur Sache kommen, aber beim Leser durchaus Verwirrungen hervorrufen kann.
Zeige nun, dass es (mindestens) ein \(x\in G\setminus \{e_G\}\) gibt, sodass \(f(x)=e_H\in H\) gilt.
Es ist immer gut, nochmal hinzuschreiben, was gezeigt werden soll. Mit dem obigem zeigt man dann, dass der Kern von f größer ist, bzw. mehr als nur das neutrale Element eG enthält. Jetzt fange ich an so einen Kandidaten zu finden:
Da \(H\) endlich ist, gibt es es ein \(k\in \mathbb{N}\), sodass \(h_{1_k}\circ...\circ h_{i_k}=e_H\) gilt, wobei \(h_{1_k},..., h_{i_k}\in H\) gilt. \((*)\)
Diese Doppelindizes haben einfach nur den Sinn, anzudeuten, dass man Elemente aus H nimmt, wobei es nicht von Bedeutung ist, wie oft welches von den h aus H benutzt wird, die dann miteinander verknüpft werden.
Weiterhin gibt es \(\tilde{x_1},...,\tilde{x_m}\in G\setminus \{e_G\}\), wobei \(f(\tilde{x_1})=:\tilde{h_1},...,f(\tilde{x_m})=:\tilde{h_m}\in H\).
Das hier ist eine reine Vorsichtsmaßnahme, da im Allgemeinen nur \(\text{im(f)}\subseteq H\) gilt, d.h., f muss nicht allgemein alle h aus H treffen. Daher habe ich alle h aus H, welche durch f getroffen werden explizit benannt.
Mit \((*)\) erhält man ein \(\tilde{k}\in \mathbb{N}\), sodass
\(e_H=\tilde{h}_{1_{\tilde{k}}}\circ...\circ \tilde{h}_{i_{\tilde{k}}}=f\big(\tilde{x}_{1_{\tilde{k}}}\big)\circ...\circ f\big(\tilde{x}_{i_{\tilde{k}}}\big)\\\stackrel{(**)}{=}f\big(\tilde{x}_{1_{\tilde{k}}}*...*\tilde{x}_{i_{\tilde{k}}} \big)=f(x)\),
wobei \(x:=\tilde{x}_{1_{\tilde{k}}}*...*\tilde{x}_{i_{\tilde{k}}}\neq e_G\) gilt.
Damit folgt \(x\in \text{ker}(f)\).
\((**) \ \ f\) ist Gruppenhomomorphismus.
Damit ist man mit a) fertig.
Bei b) muss du nur die Definition eines Gruppenhomomorphismusses nachrechnen (ein direkter Beweis).
