0 Daumen
353 Aufrufe

Aufgabe:

$$\frac{\sqrt{3}-\sqrt{5}}{\sqrt{3}+\sqrt{5}}$$


Problem/Ansatz:

Um diese Aufgabe zu Lösen, macht man ja

$$\frac{\sqrt{3}-\sqrt{5}}{\sqrt{3}+\sqrt{5}}*\frac{\sqrt{3}-\sqrt{5}}{\sqrt{3}-\sqrt{5}}$$

Aber warum ist das so? Warum multiplizieren wir den Zähler und Nenner mit dem Nenner, wobei ja noch jedes Vorzeichen gedreht ist? Oder wie ist das mit den Vorzeichen? Weil ich drehe ja immer nur das Vorzeichen, welches in der Mitte vom Term steht. Oder muss ich die +Wurzel 3 auch in - Wurzel 3 ändern?

Und kann ich bei jeden Term einfach den Nenner mit umgedrehten Vorzeichen multiplizieren, oder geht das nur, wenn sich darin eine Wurzel befindet.

Avatar von

4 Antworten

0 Daumen
 
Beste Antwort

Hallo,

das ist eine gängige Praxis, um im Nenner künstlich eine dritte binomische Formel zu provozieren. Man spricht auch davon, den Nenner zu rationalisieren.$$\frac{\sqrt{3}-\sqrt{5}}{\sqrt{3}+\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{3}-\sqrt{5}}{\sqrt{3}-\sqrt{5}}=\frac{(\sqrt{3}-\sqrt{5})^2}{(\sqrt{3}+\sqrt{5})(\sqrt{3}-\sqrt{5})}=\frac{(\sqrt{3}-\sqrt{5})^2}{3-5}$$ Im Nenner erkennst du nun die dritte Binomische Formel \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\).

Avatar von 28 k
0 Daumen

Ziel ist es hier den Nenner rational zu machen, d.h. die Wurzeln aus dem Nenner heraus zu bekommen.

Nach der dritten binomischen Formel gilt

(√3 + √5)·(√3 - √5) = 3 - 5 = -2

Schlage zum Verständnis die binomischen Formel nach oder schau dir Videos dazu an.

Avatar von 489 k 🚀
0 Daumen

Den Nenner rational machen stammt aus der Zeit, in der es noch keine Taschenrechner gab. Durch Wurzeln dividieren kann man halt nicht im Kopf.

$$ \frac{(\sqrt3-\sqrt5)^2}{-2}=\frac{3-2\cdot\sqrt{3}\cdot\sqrt5+5}{-2}  =-4+\sqrt{15}   \approx -0,127$$

Das lässt sich doch viel leichter berechnen.

:-)

Avatar von 47 k
0 Daumen

Gelöst ist die Aufgabe ja immer noch nicht.
2 * Wurzel ( 15 ) bleibt bei dem der Einsatz eines
Taschenrechners vonnöten wäre.
Warum nicht alles mit Hilfe eines Taschenrechners
berechnen ?



Avatar von 123 k 🚀

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community