Warum multipliziert man mit dem Nenner in einem Bruch?

Question

Aufgabe:

$$\frac{\sqrt{3}-\sqrt{5}}{\sqrt{3}+\sqrt{5}}$$

Problem/Ansatz:

Um diese Aufgabe zu Lösen, macht man ja

$$\frac{\sqrt{3}-\sqrt{5}}{\sqrt{3}+\sqrt{5}}*\frac{\sqrt{3}-\sqrt{5}}{\sqrt{3}-\sqrt{5}}$$

Aber warum ist das so? Warum multiplizieren wir den Zähler und Nenner mit dem Nenner, wobei ja noch jedes Vorzeichen gedreht ist? Oder wie ist das mit den Vorzeichen? Weil ich drehe ja immer nur das Vorzeichen, welches in der Mitte vom Term steht. Oder muss ich die +Wurzel 3 auch in - Wurzel 3 ändern?

Und kann ich bei jeden Term einfach den Nenner mit umgedrehten Vorzeichen multiplizieren, oder geht das nur, wenn sich darin eine Wurzel befindet.

Answer 1

Hallo,

das ist eine gängige Praxis, um im Nenner künstlich eine dritte binomische Formel zu provozieren. Man spricht auch davon, den Nenner zu rationalisieren.$$\frac{\sqrt{3}-\sqrt{5}}{\sqrt{3}+\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{3}-\sqrt{5}}{\sqrt{3}-\sqrt{5}}=\frac{(\sqrt{3}-\sqrt{5})^2}{(\sqrt{3}+\sqrt{5})(\sqrt{3}-\sqrt{5})}=\frac{(\sqrt{3}-\sqrt{5})^2}{3-5}$$ Im Nenner erkennst du nun die dritte Binomische Formel \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\).

Answer 2

Ziel ist es hier den Nenner rational zu machen, d.h. die Wurzeln aus dem Nenner heraus zu bekommen.

Nach der dritten binomischen Formel gilt

(√3 + √5)·(√3 - √5) = 3 - 5 = -2

Schlage zum Verständnis die binomischen Formel nach oder schau dir Videos dazu an.

Answer 3

Den Nenner rational machen stammt aus der Zeit, in der es noch keine Taschenrechner gab. Durch Wurzeln dividieren kann man halt nicht im Kopf.

$$ \frac{(\sqrt3-\sqrt5)^2}{-2}=\frac{3-2\cdot\sqrt{3}\cdot\sqrt5+5}{-2}  =-4+\sqrt{15}   \approx -0,127$$

Das lässt sich doch viel leichter berechnen.

:-)

Answer 4

Gelöst ist die Aufgabe ja immer noch nicht.
2 * Wurzel ( 15 ) bleibt bei dem der Einsatz eines
Taschenrechners vonnöten wäre.
Warum nicht alles mit Hilfe eines Taschenrechners
berechnen ?