Konvergenzradius von Potenzreihen. Beh: ∑ ak(x-1)^k und ∑ k*ak (x-1)^k haben den gleichen Konvergenzradius.

Question

Ich habe folgende Potenzeihen gegeben:

∑ ak(x-1)^k und ∑ k*ak (x-1)^k haben den gleichen Konvergenzradius.

\( \sum \limits_{k=1}^{\infty} a_{k} x^{k} \text {und } \sum \limits_{k=1}^{\infty} k \cdot a_{k} x^{k-1} \)

und soll die Konvergenzradien bestimmen.

Ich soll zeigen, dass die Konvergenzradien der beiden Potenzreihen gleich sind.

Mein Ansatz für die erste Reihe die zweite würde ich dann genauso behandeln:

\( R=\frac{1}{\lim \limits_{k \rightarrow \infty} \sup \sqrt[k]{\left|a_{k}(x-1)^{k}\right|}}=\frac{1}{\lim \limits_{k \rightarrow \infty} \sup \sqrt[k]{a_{k}} \lim \limits_{k \rightarrow \infty} \sup \sqrt[k]{(x-1)^{k}}} \)

dann weiß ich, dass

\( \lim \limits_{k \rightarrow \infty} \sqrt[k]{z}=1 \quad \) und \( \quad \lim \limits_{k \rightarrow \infty} \sqrt[k]{z^{k}}=k \)

damit würde ich dann folgendes bekommen:

\( R=\frac{1}{I \cdot k}=\frac{1}{(x-1)} \) da mein \( k=(x-1) \)

Kann ich das so machen?

Hier wäre mein Konvergenzradius 1/(x-1)

Comments

Warum hast du (x-1)^k überhaupt in der Radienberechnung drinn?
Wenn da einfach x^k stehen würde, kommt das doch nicht in diese Rechnung. Oder täusche ich mich da?

Vgl. auch https://de.wikipedia.org/wiki/Konvergenzradius

(x-1)^k sagt dir einfach dass das Zentrum des Konvergenzbereichs in x=1 liegt und nicht in x=0.

Was genau ist denn ak?

Sollst du die beiden Konvergenzradien vergleichen oder ausrechnen?

Zum Ausrechnen musst du die ak noch angeben.

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Ja du hast recht es soll hier heißen:

\( \sum \limits_{k=1}^{\infty} a_{k} x^{k} \text {und } \sum \limits_{k=1}^{\infty} k \cdot a_{k} x^{k-1} \)

ich dachte zuerst, wenn k=1 unter der Summation steht muss für den Konvergenzradius für x₀ stehen. Hier hatte ich die Difinition aus Wikipedia nicht richtig verstanden.

Und ja ich soll hier zeigen, dass diese Potenzreihen den gleichen Konvergenzradius besitzen.

Hier dachte ich , ich subtrahiere die Reihen und bekomme entweder Null heraus wenn sie den gleichen Konvergenzradius besitzen oder nicht Null wenn nicht.

Oder ich dividiere diese Reihen und bekomme bei gleichen Konvergenzradien 1 raus.

Bin ich da auf dem richtigen Weg?

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Vom Duplikat:

Titel: Zeigen Sie: Die gegebenen Potenzreihen haben denselben Konvergenzradius.

Stichworte: konvergenzradius,reihen,potenzen,cauchy-folge

Es seien nun \(\sum_{n=0}^{\infty} a_n t^n\) und \(\sum_{n=1}^{\infty} n a_n t^{n-1}\) Potenzreihen in \(\mathbb{K}\). Zeigen Sie:

3. ) Konvergiert \(\sum_{n=0}^{\infty} a_n y^n\) für ein \(y \in \mathbb{K}\), dann konvergiert \(\sum_{n=1}^{\infty} n a_n x^{n-1}\) absolut für alle \(x \in \mathbb{K}\) mit \(|x|<|y|\).
4. ) Die gegebenen Potenzreihen haben denselben Konvergenzradius.
5. ) Finden Sie ein Beispiel, das zeigt, dass die beiden Potenzreihen nicht immer für dieselben \(x \in \mathbb{K}\) konvergieren müssen.

 

 ich hoffe ihr könnt mir hier helfen, danke! 

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Was hast du in a) und b) schon gezeigt?

Kann sein, dass du das bei c) … wieder brauchen kannst.

Answer 1

Wie schon erwähnt muss die ganze Argumentation x-frei sein:

Mal unter den Annahme, dass alles definiert und nicht 0 ist.

Es gilt für die erste Potenzreihe r = lim |ak / ak+1 |

und für die 2. Potenzreihe r = lim | kak / ((k+1)*ak+1  )|

= lim | (k+1)/(k+2) * ak+1 / ak+2 |

 

= lim( | (k+1)/(k+2)| * |ak+1 / ak+2 |)

 

= lim ((k+1)/(k+2) )* lim | ak+1 / ak+2 |

                 |erster Grenzwert ist 1. kannst du zeigen,

                               indem du oben und unten durch k dividierst      (1 + 1/k)/(1+2/k)

                 |zweiter Grenzwert ist das r von vorher,

                                      da es sich wieder um 2 aufeinanderfolgenden ak handelt.

= 1*r = r

qed.