Lineares Gleichungssystem in zwei Variablen x bzw. y

Question

Aufgabe:

Gegeben sind zwei Punkte im Koordinatensystem: P(2/4) und R(6/0)

Gesucht ist das lineare Gleichungssystem in zwei Variablen x bzw. y

Comments

Und wie kommt man zur Lösung bei den Punkten U(-2/0) und V(0/2)?

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Hat durch die wunderbare Erklärung von Hogar auf Anhieb geklappt! Nochmals ein großes Dankeschön!

Answer 1

$$ P(2;4) ;R(6;0) $$

$$ Q(x,y)=R + t (P-R) $$

$$ Q(x,y)=(6;0)+t(-4;4)$$

oder einzeln

$$x=6-4t $$  $$  y = 0+4t $$

addieren wir diese

$$ x+y=6 $$

Comments

Und warum funktioniert das so?

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Gut, ich merke, die Schreibweise ist ungewohnt

Es funktioniert, weil bei einer Geraden die Steigung immer gleich bleibt.

(yp --yr)/(xp-xr) =( y- yr)/ (x-xr)

(4-0)/(2-6)=(y-0)/(x-6)

-1(x-6)=y

-x+6=y

6= x+y

Kommt zum gleichen Ergebnis.

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Wohlgemerkt, es ist kein billiger Trick, sondern übliches Verfahren, aber ich konnte die beiden Gleichungen addieren ohne vorher noch eine mit einem geeigneten Wert zu multiplizieren, weil das -4t in der einen , das +4t in der anderen bei der Summe aufhob.

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Vielen Dank für diese Erkärung, leider kann ich aber nicht nachvollziehen, wie man auf

(yp --yr)/(xp-xr) =( y- yr)/ (x-xr)
(4-0)/(2-6)=(y-0)/(x-6)

kommt.

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Die Steigung m der Geraden , die durch zwei Punkte geht, wird berechnet mit

m= (y2-y1)/(x2-x1)

Das gilt für alle Punkte der Geraden, solange, sie verschieden sind.

Denn wir dürfen ja nicht durch Null teilen.

Es gilt also auch für

P(xp; yp) und R(xr;yr)

m=(yp-yr)/(xp-xr)

Es gilt aber auch für

Q(x;y) und R(xr;yr)
m=(y-yr)/(x-xr)

(yp-yr)/(xp-xr)=m=(y-yr)/(x-xr)

(yp-yr)/(xp-xr)=(y-yr)/(x-xr)

Mit yp=4 ; yr=0; xp=2 und xr=6

Wird daraus

(4-0)/(2-6)=(y-0)(x-6)

Die Gitterlinien des Koordinatensystem sind parallele Geraden. Wenn du durch einen Punkt R eine Gerade zeichnest, dann steht da oben nichts anderes, als der Strahlensatz. Die entsprechenden Abschnitte verhalten sich gleich.

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Tolle Erklärung, jetzt verstehe ich das.

Beste Grüße und ein ganz großes

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Werde das jetzt bei den Punkten U(-2/0) und V(0/2) probieren!

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(* Scherzmodus an *)
Hallo Hogar,
ist hier im Forum ein neuer Wettbewerb entstanden wer was am umständlichsten
erklären kann ?
Wer kann am umstädlichsten erklären
1 + 1 = 2 ?
(* Scherzmodus aus *)

Answer 2

Hallo,

man kann eine lineare Funktion aufstellen

f(x) =mx+b     m = (0-4) /(6-2)    m= -1

Punkt einsetzen

(2|4)   4 = -1 *2 +b     b = 6    f(x) = -x +6

oder beide Punkte einsetzen ohne m zu kennen

        4= m*2 +b

        0= m*6 +b        I-2

        4 = -4m            m = -1    oben einsetzen    b = 6

       

          

Comments

Danke für die rasche Reaktion, aber wie sieht dann die Gleichung aus?

Sie soll mit x und y dargestellt werden, also z.B.: x - 2 y = 5

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f(x) = -x +6    ->  y = -x+6    | +x

                          x+y = 6

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Die Gerade durch P,R lautet g: x+y=6 !

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Danke für die Antwort, aber das Lösungsheft sagt: x + y = 6

Wie kommt man zu diesem Ergebnis?

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Hallo, Fehler korregiert ! Danke

Answer 3

Eine übliche Vorgehensweise ist
( x | y )
P(2/4) und R(6/0)
Dies sind 2 Punkte die man durch eine Gerade verbinden kann

Geradengleichung
y (x) = m * x + b

m = Δ y / Δ x = ( y1 - y2 ) / ( x1 - x2 )
m = ( 4 - 0 ) / ( 2 - 6 ) = -1
Einsetzen
4 = -1 * 2 + b
b = 6
Funktion
y = -1 * x + 6
Probe
0 = -1 * 6 + 6 | stimmt

Frag nach bis alles klar ist.