Wie groß ist der Winkel BDA?

Question

Im Dreieck ABC seien die Strecken AB und AC gleichlang und schließen einen Winkel der Größe 20° ein. Ein Punkt D auf AC habe von A den gleichen Abstand, wie B von C. Wie groß ist der Winkel BDA?

Comments

Hallo Roland,

noch 'n Beweis: (irgendwie bin ich über diese alte Aufgabe gestolpert, und habe ein wenig experimentiert)

Man zeichne das Dreieck \(\triangle ABC\) noch einmal wie abgebildet als \(\triangle ABC'\), so dass beide Dreiecke den Schenkel \(AB\) gemeinsam haben und sich überlappen.

Der Winkel \(\angle BAC'\) (rot) ist der Basiswinkel 80° und folglich ist $$\angle DAC' = 80°-20°=60°\quad\text{(blau)}$$ Und da lt. Vorgabe \(|AD|=|AC|=|AC'|\) ist, muss \(\triangle ADC'\) ein gleichseitiges Dreieck sein.

Folglich liegt der Punkt \(D\) auf der Symmetrieachse (schwarz) von \(\triangle ABC'\) und \(\angle ADB\) (lila) ist Nebenwinkel von \(60°/2\)$$\angle ADB = 180°- \frac{60°}2 = 150°$$

Answer 1

Achtung: folgende 'Antwort' ist NICHT die Antwort auf die oben gestellte Frage! Siehe dazu die Kommentare unten. Die korrekte Antwort steht im ersten Kommentar von Gast_hj2166 (s.u.).

lt. Aufgabenstellung sind \(|AD| = |BD|\) und \(\angle ABD = 20°\) (blau). Gesucht ist nach dem Winkel \(\angle BDA\) (rot). Dass \(|AB|=|AC|\) ist, ist für die Fragestellung irrelevant.

Man denke sich eine Parallele zu \(AB\) durch \(D\) (blau gestrichelt). Stufenwinkel an Parallelen sind gleich, folglich sind die beiden blauen Winkel gleich groß. Wechselwinkel an Parallelen sind gleich, folglich sind die beiden gelben Winkel gleich groß.

Da \(|AD|=|BD|\) ist \(\triangle ABD\) gleichschenklig. Die Basiswinkel im gleichschenkligen Dreieck sind gleich, folglich sind der blaue Winkel bei \(A\) und der gelbe bei \(B\) gleich groß.

Also sind die blauen und gelben Winkel in der Skizze gleich groß und \(\angle BDC = 2 \cdot 20° = 40°\). Und final folgt daraus:$$\angle BDA = \angle BDC + 180° = 220°$$

Comments

Schöner Beweis.

Das hatte ich erst auch raus, doch laut Aufgabe soll

 $$DA=BC$$

Und NICHT DA=DB

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Wähle E so, dass ΔBCE (und damit auch ΔGFE) gleichseitig wird.

Dann ist ΔDAB ≅ ΔECA (SWS) und somit ∠ADB = ∠CEA = 120° + 30° = 150° .

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DA=BC
Und NICHT DA=DB

Fazinierend! Wenn man es einmal falsch gelesen hat, so sieht man es nicht mehr!

"Ein Punkt D auf AC habe von A den gleichen Abstand, wie _von B von C"

und der Beweis von hj ist genial!

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Gast hj2166

hat mit 20° und 10° genauso rumgespielt wie ich.

Er hat es graphisch gelöst, ich rechnerisch.

Das ist doch das schöne an der Mathematik, dass es mehrere Wege gibt.

Gruß, Hogar

P.s Wie gesagt, hatte ich es erst auch falsch gelesen. Und bin rechnerisch auch auf 40° gekommen.

Und

sin (80°) * sin(10°) = sin (20°)*sin(30°)

finde ich einen schönen Beifang,

Ich war zu schnell.

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Nichts gegen Werner Salomon, doch warum eine falsche Antwort, die beste Antwort ist, muss ich wohl nicht verstehen.

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@Hogar:

warum eine falsche Antwort, die beste Antwort ist, muss ich wohl nicht verstehen.

das verstehe ich auch nicht. Die beste Antwort auf die gestellte Frage ist doch ohne Zweifel die von hj, der aber - wie üblich - nur mit einem Kommentar geantwortet hat.

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Hallo Werner-Salomon,

aus deiner Sicht hast Du recht. Du magst diese Zeichnungen ja gern. Ich stehe aber immer noch zu meiner rechnerischen Lösung, denn ich kann daran keinen Fehler erkennen.

Alles Gute, Hogar

P.S.In dem von dir gelösten Fall, hätte ich aber nur gesagt, 20 + 20 =40

40 +180 =220, auch dann hättest Du den Preis der besten Antwort bekommen. Übrigens hatte meine Korrekturfunktion statt Preis eben Kreis vorgeschlagen, vielleicht sollte es ein Tipp für mich sein.;-)

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In dem von dir gelösten Fall, hätte ich aber nur gesagt, 20 + 20 =40

:-)  .. und ich hätte das gelesen und gar nicht verstanden, was das mit der Frage von Roland zu tun hat. So unterschiedlich sind die Sichtweisen!

Wenn die Frage gewesen wäre: was ist 20 + 20 ? dann hätte ich das als Antwort verstanden, aber das war doch nicht die Frage - oder?

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Ich stehe aber immer noch zu meiner rechnerischen Lösung, denn ich kann daran keinen Fehler erkennen.

Dann zum allerletzten Mal : Du musst lernen, was der Unterschied zwischen einem Satz und seiner Umkehrung ist.

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Dann lese meinen Kommentar zu meiner Antwort.

Ich habe eine ähnliche Formation wie Roland angegeben hat, darum muss der Winkel 210° auch richtig sein, denn wenn sie ähnlich ist, sind alle Winkel gleich. Die Ähnlichkeit habe ich nachgewiesen. Das steht alles im Kommentar.

Ich zeichne eine Strecke BD

Ich bilde mit

Winkel DBA =10° ; Winkel ADB=150°

Den Vowärtsschnitt und bekomme A

Ich bilde mit
Winkel BDC =30° ; Winkel CBD=70°
Den Vowärtsschnitt und bekomme C

Winkel ADB + Winkel BDC

=150° +30° = 180° = Winkel CDA

Winkel DBA + Winkel CBD

=10°+70°=80°

= Winkel CBA =

Winkel ACB=180°-30°-70°

→AB=AC

Über den Sinussatz kann ich nun die Strecken AD und BC berechnen und wie ich gezeigt habe, sind sie gleich.

AD=BC Sie stimmen nicht nur auf 0,0000000000001 cm überein, nein sie sind gleich, denn das habe ich gezeigt.

Denn es gilt

sin 10° * sin 80° = sin 20° * sin 30°


Wir haben also die von Roland beschriebene Situation.

Nun fehlt nur noch

Winkel BDA =

360° - Winkel ADB =

360° - 150°= 210°

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@Werner Salomon,

wenn die Frage gekommen wäre, hätte ich geantwortet:

gleichseitiges Dreieck ADB →

Winkel BAD= Winkel DBA= 20°

Winkel BDC= Winkel BAD+ Winkel DBA = 20°+20°=40°

damit

Winkel BDA = Winkel BDC + Winkel CDA= 40° +180° =220°

Alles Gute, Hogar

P.s. mit dem Zeichen für Winkel wäre alles kürzer, das kann ich aber nicht finden.

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∠

Unter Symbol in der zweite Spalte der dritten Reihe (zumindest bei mir am PC) :)

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Danke, das sieht nicht so aus, wie ich es kenne, denn es fehlt der Kreisbogen, doch ich werde mal auf meinem Smartphone suchen, ob ich so etwas finde.

:-)

Da ist zwar was, doch nicht das.

Da gibt es nur

@#€%&-+()*"':;!?,_/.~`|•√π÷׶∆£¥$¢^°={},<>.\©®™℅[]

Ist also leider nicht dabei .

Trotzdem danke.

Gruß, Hogar

Answer 2

Winkel BDA = 210°

Winkel ADB = 150°

Winkel DBA = 10°

Winkel CBD = 70°

Winkel DCB = 80°

Winkel BDC = 30°

Winkel BAC = 20°

Denn

2 COS(10°) sin (10°)=sin(20°)

COS(10°) sin (10°)=sin(20°)*sin(30°)

sin( 80°) * sin (10°) =sin (20°) * sin (30°)

und damit

AD=BD sin (30°) / sin (80°) = BD sin (10°) / sin (20°)=BC

da 10°+70°=80°

AB=AC

Die Winkel erfüllen also die Bedingungen.

Nicht zu vergessen 150°+30°= 180°

Comments

Deinem Wunsch entsprechend stelle ich nochmals fest :

1. Am Anfang deiner Ausführung steht eine zu beweisende Behauptung :  Winkel BDA = 210°
Dem folgen einige aus dieser Behauptung bzw. aus der gegebenen Voraussetzung trivialerweise folgende Winkelbeziehungen.

2. Am Ende deiner Ausführungen stehen (hier in umgekehrter Reihenfolge aufgelistet) einige Beziehungen, die sich sofort aus den Voraussetzungen ergeben :
AB = AC ist die Gleichschenkligkeit
10° + 70° = 80° ist trivial
AD = BC wird vorausgesetzt
sin( 80°) * sin (10°) =sin (20°) * sin (30°)  wird aus dem Additionstheorem richtig gefolgert.

3. Ein Beweis geht von gewissen Voraussetzungen aus (das sind die hier unter Punkt 2 genannten) und schließt daraus auf die Behauptung. Das tust du nicht.

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Gut nehmen wir an, dass ich, wie einst Gauß eine Triangulierung vorgenommen habe. Ich habe im Gelände Punkte markiert und dazwischen die Winkel gemessen. Nun passen die Winkel dergestalt zusammen, dass ein Vollkreis die gewünschten 360° hat. Nun vergessen wir erst einmal die Aufgabe.

Der Beweis fängt bei meinem

Denn an.

Ich habe die Formel für den Sinus vom doppelten Winkel angegeben.

Dies ist ein Spezialfall des trigonometrischen Additionstheorems.

Sin ( α +β )= sin (α)*cos(β) +cos(α)*sin(β)

Hier ist α=β =10°

da aber cos 10° = sin 80°

und sin 30° = 0, 5

konnte ich zeigen, dass

sin( 80°) * sin (10°) = sin (20°) * sin (30°)

Dann nehmen wir an, ich hätte die Länge BD gemessen.

Mit einer gemessenen Strecke, können nun alle Strecken mithilfe des Sinussatzes bestimmt werden.

Ich mache wie du sicher merkst nur Aussagen über dir von mir vorgefunden Punkte.

Alles baut auf bekannte Sätze auf.

Jetzt stelle ich fest, dass

AD=BC

Und ich stelle fest, dass D auf der Geraden durch A und C liegt, da die dort gemessenen Winkel

150°+ 30° = 180° ergeben, Damit haben wir einen gestreckten Winkel.

Da 70°+10°= 80°  die in B gemessen Winkel gleich dem in C gemessenen Winkel mit 80° ist,

ist das Dreieck ABC ein gleichschenkliges Dreieck und AB=AC

Alles gilt immer noch nur für meine Dreiecke.

Nun kommt die Verbindung zu Rolands Aufgabe. Er hat in A einen Winkel von 20° angegeben, oh, dass habe ich auch, dann sagt er ABC ist

gleichschenklig, ja, so wie bei mir.

Er sagt weiter, dass AD= BC

Auch das ist bei mir der Fall, wir haben also eine ähnliche Figur und damit ist der von mir angegebene Winkel 210°, seine gesuchte Lösung der Aufgabe.

Da er aber nur den Winkel gesucht hatte, habe ich erst diesen und einige andere Winkel angegeben

Wie gesagt, den Beweis habe ich erst später angegeben und Zweifel sollten jetzt eigentlich behoben sein.

Aber ich gestehe, dass ich wie der Mathecoach erst im drüben gefischt habe, Anfangs hatte  "mein Gauß" sich sogar vermessen und ursprünglich 40°statt der notwendigen 30° angegeben, doch damit konnte ja keine Verbindung zur Aufgabe hergestellt werden.

Ich hoffe, dass jetzt die letzten Fragen ausgeräumt sind.

Falls aber nicht, bin ich gerne bereit meine "Messung" und die Schlussfolgerung zu erklären.

Gruß, Hogar

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den Beweis habe ich erst später angegeben

Was du angibst kann allenfalls als Probe bezeichnet werden.
Da hapert es aber an einigen Stellen.

Angenommen eine "Messung" ergibt Folgendes :

Dann prüfe ich z.B. als erstes mit dem Winkelsummensatz und erkenne, dass da etwas nicht stimmt.
Ich verändere den 75°-Winkel zu 65° und stelle fest, dass der Winkelsummensatz jetzt erfüllt ist, auch die Forderung nach einem gleichschenkligen Dreieck passt.
Dann prüfe ich z.B. als zweites, ob der Sinussatz erfüllt ist und stelle fest, dass dieser bei Forderung nach AD = BC verletzt wird. Daraufhin verändere ich die Winkel bei B zu 10° + 70° und stelle fest, dass die Werte jetzt Test 1 und Test 2 bestehen.

Das ist dein Vorgehen und dein Stand der Dinge bis hierher. Wer sagt dir aber, dass es nicht noch einen Test 3 gibt, bei dem deine Werte versagen ?

Selbstverständlich kann eine Probe als legitimes Mittel des Lösungsbeweises gelten, wenn zusätzliche Information vorliegt : Wenn ich zwei verschiedene Lösungen einer quadratischen Gleichung geraten habe und beide die zu lösende Gleichung erfüllen, dann kann ich sicher sein, die vollständige Lösung zu haben, wenn ich zusätzlich weiß, dass eine quadratische Gleichung höchstens zwei Lösungen haben kann. Diese zusätzliche Information diskutierst du im vorliegenden Fall nicht.

Bei Proben mit dem Sinus-Satz ist stets Vorsicht geboten, weil (wegen sin(α) = sin(180°-α) ) er manchmal wahre Aussagen liefert obwohl die als gleich nachzuweisenden Winkel es in Wirklichkeit gar nicht sind.

Letzten Endes entstanden diese Hinweise aus deiner berechtigten Kritik an einer Vorgehensweise, die das Pferd von hinten aufzäumt, die du aber hier selbst verfolgst.

Ich empfehle dir also den von mir im obigen Kommentar skizzierten Lösungsweg.
Man kommt dabei ganz ohne Trigonometrie aus.

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Gut, dann schreibe ich es für dich etwas deutlicher, das war nämlich nicht mein Vorgehen, denn ich hatte mir eine Basis genommen und über den Kosinussatz und Sinussatz Winkel berechnet, nur mein Rechner zeigt leider nur 10 Stellen an, ich kenne aber Roland, denn besonders von mir möchte er es ganz genau haben. Darum mein Schritt mit den trigonometrischen Funktionen.

Also vielleicht etwas deutlicher

Jetzt wackelt, wie ich meine nichts.

Das Fundament wird gelegt.

Ich zeichne eine Strecke BD

Ich bilde mit

Winkel DBA =10° ; Winkel ADB=150°

Den Vowärtsschnitt und bekomme A

Ich bilde mit
Winkel BDC =30° ; Winkel CBD=70°
Den Vowärtsschnitt und bekomme C

Winkel ADB + Winkel BDC

=150° +30° = 180° = Winkel CDA

Winkel DBA + Winkel CBD

=10°+70°=80°

= Winkel CBA =

Winkel ACB=180°-30°-70°

→AB=AC

Über den Sinussatz kann ich nun die Strecken AD und BC berechnen und wie ich gezeigt habe, sind sie gleich.

AD=BC Sie stimmen nicht nur auf 0,0000000000001 cm überein, nein sie sind gleich, denn das habe ich gezeigt.

Denn es gilt

sin 10° * sin 80° = sin 20° * sin 30°

Das zeigt dein Vorschlag nicht.

Wir haben also die von Roland beschriebene Situation.

Nun fehlt nur noch

Winkel BDA =

360° - Winkel ADB =

360° - 150°= 210°

Answer 3

Ein merkwürdiger Zusammenhang:

mfG

Moliets

Comments

Da (mit deinen neuen Bezeichnungen) das ΔAGC zwei 10°-Winkel enthält, ist CG = GA und dass G dann Mittelpunkt des Umkreises von ΔABC ist erstaunt nicht sonderlich.