Fourierreihe entwickeln und Summe bestimmen

Question

und zwar geht es um diese Aufgabe:

Entwickeln Sie die Funktion
$$ f(x)=\left\{\begin{array}{ll} (x+1)^{2}-1 & \text { für }-2 \leq x \leq 0 \\ 1-(x-1)^{2} & \text { für } \quad 0 \leq x \leq 2 \end{array}, \quad f(x \pm 4)=f(x)\right. $$
in eine Fourierreihe und bestimmen Sie die Summe der Reihe \( s=1-\frac{1}{3^{3}}+\frac{1}{5^{3}}-\frac{1}{7^{3}} \pm \cdots \)

a0 habe ich so berechnet: $$a0=\frac{1}{π}\int \limits_{-2}^{0} (x+1^{2})-1 dx +\int \limits_{0}^{2} 1-(x-1)^{2}dx$$ und erhalte dafür 0, kann das sein?

die Berechnung von an und bn jedoch bereitet mir probleme. Beim ausrechnen von an erhalte ich $$\frac{(8n^{2}-4)*sin(2n)+8n*cos(2n)}{n^{3}}$$ stimmt denn das? und für bn erhalte ich 0..

Vielen Dank im Voraus

Answer 1

Ja, \(a_0\) ist 0: Da \(-f(x)=f(-x)\) gilt, also \(f\) ungerade ist, folgt sofort, dass für alle \(n\) die Glieder \(a_n=0\) sind.

Trotzdem Vorsicht: Du nimmst gerade die falsche Formel zur Hand. Deine Funktion ist nicht \(2\pi\) periodisch, sondern \(4\) periodisch. Du musst also du die allgemeine Formel für die Periode \(T\) benutzen und \(T=4\) setzen. Deshalb sind deine Werte auch falsch.

Du musst also nur noch die \(b_n\) bestimmen und dann in $$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(0+b_n\cdot \sin{(n\omega x)}\right)$$ einsetzen. \(b_1\) ist zum Beispiel $$b_1=2/4\int_{-2}^{2}f(x)\cdot \sin{(1\cdot \omega x)} \;\mathrm{d}x\text{ mit } \omega= \dfrac{2\pi}{T}=\dfrac{2\pi}{4}=\dfrac{\pi}{2}.$$

Die allgemeinen Formeln für \(a_n\) und \(b_n\) lauten für eine Periode \(T\): $$a_n=\frac{2}{T}\int\limits_{c}^{c+T} f(x)\cdot \cos{(n\omega x)}\; \mathrm{d} x \text{ und } b_n=\frac{2}{T}\int\limits_{c}^{c+T} f(x)\cdot \sin{(n \omega x)}\;\mathrm{d}x$$ Dabei ist \(c\) eine Verschiebungskonstante. Du kannst dein Integral also beliebig verschieben, wenn deine Funktion periodisch ist. Für deine Aufgabe kannst du also $$a_n=\frac{2}{4}\int\limits_{-2}^{2} f(x)\cdot \cos{(n\omega x)}\; \mathrm{d} x \text{ und } b_n=\frac{2}{4}\int\limits_{-2}^{2} f(x)\cdot \sin{(n \omega x)}\;\mathrm{d}x$$ benutzen, wobei du die \(a_n\)'s natürlich nicht mehr ausrechnen brauchst.

Die Funktion sieht wie folgt aus (ein Ausschnitt):