Lösen der Gleichungen / Ungleichungen

Question

Aufgabe:

Lösungsmenge der Gleichungen bestimmen: (x ∈ ℝ)

a)

$$\frac{x+4}{12x+4}- \frac{x-4}{3x+1}= 5$$

b)

 $$\frac{x+\sqrt{a}}{x+\sqrt{b}} - \frac{x+\sqrt{a}}{x-\sqrt{b}}$$  a,b ℝ fest.

Lösungsmenge der Ungleichungen bestimmen: (x ∈ ℝ)

a)  $$|x+2 |- |x | \leq0$$

b) $$|x+2 |- |x |+  |x-1 | \gt 2$$

Problem/Ansatz:

Bräuchte etwas Hilfe bei diesen Beispielen.

Bin mir sehr unsicher..

Vielen Dank im Voraus!

Comments

Bitte immer nur 1 Aufgabe pro Thread.

a) Mit dem HN durchmultipliziereN

12x+4 =4*(3x+1) → HN = 4*(3x+1)

x+4-(x-4)*4 = 5*(12x+4)

-3x-16 = 60x+20

63x = -36

x= -36/63 = -12/21

b) Das ist keine Gleichung.

Answer 1

a)

(x + 4)/(12·x + 4) - (x - 4)/(3·x + 1) = 5

Multipliziere mit dem Hauptnenner. Dann solltest du es alleine schaffen.

(x + 4)(3·x + 1) - (x - 4)(12·x + 4) = 5(12·x + 4)(3·x + 1) → x = 0

b)

(x + √a)/(x + √b) - (x + √a)/(x - √b) = 0

Auch hier mit dem Hauptnenner multiplizieren

(x + √a)(x - √b) - (x + √a)(x + √b) = 0 → (x = -√a) ∨ (x ≠ 0 ∧ b = 0)

c)

|x + 2| - |x| ≤ 0
|x + 2| ≤ |x| --> x ≤ -1

Wenn du hier die Lösung nicht direkt siehst dann mache eine Fallunterscheidung oder Zeiche dir die Funktionen in ein Koordinatensystem

~plot~ abs(x+2);abs(x) ~plot~

d)

|x + 2| - |x| + |x - 1| > 2
Fallunterscheidung
Fall 1: x ≤ -2
Fall 2: -2 ≤ x ≤ 0
Fall 3: 0 ≤ x ≤ 1
Fall 4: 1 ≤ x

Ich erhalte die Lösung: (x > -1 und x ≠ 1) oder x < -3

Comments

Gibt es bei b) einen Trick wie ich das schnell durchschauen kann mit b=0 und x≠0?

---

(x + √a)(x - √b) - (x + √a)(x + √b) = 0

Ausklammern

(x + √a)((x - √b) - (x + √b)) = 0
(x + √a)(x - √b - x - √b) = 0
(x + √a)(- 2√b) = 0 → x = -√a oder b = 0

Für b = 0 lautet die Definitionsmenge D = R \ {0}.

Answer 2

a) Erweitere den zweiten Bruch mit 4. Multipliziere die Gleichung dann mit 12x+4.

x+4-(4x-16)=5*(12x+4)

x+4-4x+16=60x+20

-3x+20=60x+20

63x=0

x=0

b) Mit beiden Nennern multiplizieren:

(x+√a)*(x-√b)-(x+√a)*(x+√b)=0

(x+√a)*(x-√b-x-√b)=0

(x+√a)*(-2√b)=0

x=-√a  falls b>0

x∈ℝ \{0}    falls b=0

Answer 3

1a)

$$\frac{x+4}{12x+4}- \frac{x-4}{3x+1}= 5 $$$$\frac{x+4}{12x+4}- \frac{4(x-4)}{12x+4}= 5 $$$$-3x+20=60x+20$$$$63x=0$$$$x=0$$L={0}

1b)

$$\frac{x+\sqrt{a}}{x+\sqrt{b}} - \frac{x+\sqrt{a}}{x-\sqrt{b}}=$$

$$\frac{(x+\sqrt{a})*(x-\sqrt{b})}{(x+\sqrt{b})*( x-\sqrt{b} ) } - \frac{(x+\sqrt{a})* (x+\sqrt{b} ) }{(x+\sqrt{b})* (x-\sqrt{b})}=$$

$$\frac{-2(x+\sqrt{a})*\sqrt{b}}{x^2-b }=0$$

$$x=-\sqrt{a} $$$$oder $$$$b=0 ;    x≠0$$

Comments

Danke Hogar!

Answer 4

|x+2| − |x| ≤ 0

| x+2 | ≤  | x |
Beide Terme sind positv
Eine Quadratur ist auch korrekt
( x + 2 )^2 ≤ x^2
x^2 + 4x + 4 ≤ x^2
4x + 4 ≤ 0  | : 4
x + 1 ≤ 0
x ≤ -1
Wurde graphisch überprüft. Stimmt.