Trigonometrischer Beweis: Sei a+b+c = 90°, dann gilt tan(a)·tan(b)+tan(b)·tan(c)+tan(c)·tan(a) = 1

Question

Aufgabe:

Wenn a+b+c = 90°, dann tan(a)*tan(b)+tan(b)*tan(c)+tan(c)*tan(a) = 1

Beweise diese Behauptung!

Comments

Was darfst du denn verwenden?

Additionstheoreme, komplexe Darstellungen, ... ?

Answer 1

Hallo,

beachte die Additionstheoreme \((\#)\) und, dass $$\tan(a+b)=\tan\left(90^\circ-c\right)=\cot(c)=\frac1{\tan(c)}\,(*)$$ Dann gilt:$$\tan(c)\overset{(*)}=\frac{1}{\tan(a+b)}\overset{(\#)}=\frac{1-\tan (a)\tan b}{\tan( a)+\tan (b)}$$ und damit$$\tan (b)\tan (c)+\tan (c)\tan (a)=1-\tan (a)\tan (b)$$ und letztlich:$$\tan (b)\tan (c)+\tan (c)\tan (a)+\tan (a)\tan (b)=1$$

Answer 2

Hallo,

Bedenke dass $$\displaystyle \tan(90°-x) = \frac 1{\tan(x)}$$ und $$\displaystyle \tan(x+y) = \frac{\tan(x) + \tan(y)}{1 - \tan(x) \tan(y)}$$ siehe hier.$$\begin{aligned} \quad &\phantom{=} \tan(a) \tan(b)+ \tan(b) \tan(c)+ \tan(c) \tan(a)\\ &= \tan(a) \tan(b)+ (\tan(b)+  \tan(a))\tan(90°-(a+b)) \\ &= \tan(a) \tan(b)+ \frac{\tan(b)+  \tan(a)}{\tan(a+b)} \\ &= \tan(a) \tan(b)+ \frac{\tan(b)+  \tan(a)}{ \frac {\tan(a) + \tan(b)}{1- \tan(a) \tan(b)}} \\ &= \tan(a) \tan(b)+ (1- \tan(a) \tan(b)) \\ &= 1 \end{aligned}$$