Warum ist der Grenzwert von lim (√(n^2+3n+1)-n)^{-2} = 4/9?

Question

ich saß schon mehrere Stunden an dieser Aufgabe und hab' jetzt die Schnauze voll. Es wäre superlieb, wenn mir (und damit auch etlichen meiner Kommilitonen) jemand helfen könnte. Es geht um folgendes:

Der Grenzwert soll berechnen werden mit n → ∞ von:

lim (√(n^2+3n+1)-n)^-2, was sich ja auch umschreiben lässt in 1/(n^2+3n+1)^2

Ich weiß, dass die Lösung 4/9 sein soll. Ich dagegen komme aber immer wieder auf 0.

Answer 1

Betrachte mal den Term ohne das Quadrat. Quadrieren kann man ja am Schluss noch.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=+%28√%28n%5E2%2B3n%2B1%29-n%29%5E%28-1%29

               Die zweite 'alternate form' kommt durch Erweitern mit 3. Binom zustande

(-n-sqrt(1+3 n+n^2))/(-1-3 n)           
.                                              |oben und unten durch n (in der Wurzel durch n^2)

= (-1 - √(1/n^2 + 3/n + 1))/(-1/n - 3)
jetzt n--> unendlich

---> (- 1 - √1)/(-3) = 2/3

nun noch quadrieren

---> Grenzwert ist 4/9

Comments

Danke schonmal für die Antwort.

Leider kapier ich es noch nicht ganz.

Wie funktioniert das Erweitern mit dem 3. Binom?

Und warum teilt man in der Wurzek durch n^2 statt nur durch n?

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1/ (sqrt(1+3 n+n²) -n)

= (sqrt(1+3 n+n²) + n)/  ((sqrt(1+3 n+n²) -n) (sqrt(1+3 n+n²) + n))

                               | 3.Binom (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 ist

                              |Standardverfahren um Wurzeln aus dem Nenner zu bringen.

= (sqrt(1+3 n+n²) + n)/  ((1+3 n+n²) -n^2)

=  (sqrt(1+3 n+n²) + n)/  (1+3 n)       |jetzt noch mit (-1) erweitern 

=    (-n-sqrt(1+3 n+n²))/(-1-3 n)           

Der letzte Schritt ist eigentlich nötig. Er macht nur die Fortsetzung mit dem Minus etwas anspruchsvoller.

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Und warum teilt man in der Wurzek durch n² statt nur durch n?

Du musst die Wurzel durch n dividieren.

 sqrt(1+3 n+n²) / n        |Jetzt brauchst du unten auch eine Wurzel

=  (sqrt(1+3 n+n²) / sqrt( n^2)       

                       .              |nun alles unter die Wurzel

=  sqrt ((1+3 n+n²)/ n^2)

= sqrt (1/n^2 + 3/n + 1)

Wurzelgesetze sind zusammengestellt: Ganz weit unten im Link https://www.matheretter.de/wiki/wurzel