Beweisen Sie Korollar. Sei ∑anxn mit Konvergenzradius r>0. Es gilt: f ist gerade, gdw a1 = a3 = a5=...=0 gilt.

Question

Beweisen Sie Korollar:

Sei f(x):= ∑a_nxⁿ mit Konvergenzradius r>0. Dann ist f gerade, d.h. f(-x) = f(x), genau dann, wenn a₁ = a₃ = a₅=...=0 gilt.

Comments

Sei f(x):= ∑a_nxⁿ mit Konvergenzradius r>0. Dann ist f gerade, d.h. f(-x) = f(x), genau dann, wenn a₁ = a₃ = a₅=...=0 gilt.

Beweisrichtung <== scheint trivial.

Sei a₁ = a₃ = a₅=...=0 . Dann gilt:

f(-x) = a_o(-x)⁰ + a₂(-x)²  + a₄(-x)⁴ + a₆(-x)⁶ + a₈(-x)⁸ + … 

=  a_o(x)⁰ + a₂(x)²  + a₄(x)⁴ + a₆(x)⁶ + a₈(x)⁸ + … 

= f(x) 

qed

Beweisrichtung ===> am ehesten indirekt. 

Answer 1

\(f(x)=f(-x)\) im ganzen Konvergenzkreis (oder Konvergenzintervall) bedeutet

\(0=f(x)-f(-x)\), d.h. \(f(x)-f(-x)\) ist die Null-Potenzreihe \(\sum 0\cdot x^n\) .
Zwei Potenzreihen, die in ihrem Konvergenzgebiet (\(r>0)\) als Funktionen
übereinstimmen, sind identisch.

Nun haben wir
\(\sum 0\cdot x^n =f(x)-f(-x)=\sum a_nx^n-\sum a_n(-1)^nx^n=\sum a_n(1+(-1)^n)x^n\).

Koeffizientenvergleich liefert:$$0=a_n(1-(-1)^n)=\left\{\begin{array}{ll}2a_n&, n\; ungerade\\0&, n \; gerade\end{array}\right\}$$Also sind notwendigerweise die \(a_n=0\) genau dann, wenn \(n\) ungerade ist.