Lösungsmenge von Ungleichungen.

Question

Aufgabe:

Lösungsmenge von Ungleichungen

a) (3x+1)·(x-2)+x² > 12+(2x-1)²

^{b) (3x/5+x) < -3}

Answer 1

Aloha :)

$$\left.(3x+1)(x-2)+x^2>12+(2x-1)^2\quad\right|\quad\text{Klammern ausrechnen}$$$$\left.(3x^2+x-6x-2)+x^2>12+(4x^2-4x+1)\quad\right|\quad\text{zusammenfassen}$$$$\left.4x^2-5x-2>4x^2-4x+13\quad\right|\quad-4x^2$$$$\left.-5x-2>-4x+13\quad\right|\quad+5x$$$$\left.-2>x+13\quad\right|\quad-13$$$$\left.-15>x\quad\right|\quad\text{\(x\) links hinschreiben}$$$$\left.x<-15\quad\right.$$

Bei der zweiten Aufgabe muss man beachten, dass \((5+x)\) positiv ist, falls \(x>-5\) und negativ, falls \(x<-5\). Daher müssen wir 2 Fälle unterscheiden.

1. Fall \(x>-5\) bzw. \((5+x)>0\)$$\left.\frac{3x}{5+x}<-3\quad\right|\quad\cdot(5+x)$$$$\left.3x<-3(5+x)\quad\right|\quad\text{rechts ausrechnen}$$$$\left.3x<-15-3x\quad\right|\quad+3x$$$$\left.6x<-15\quad\right|\quad\div6$$$$\left.x<-\frac{15}{6}=-2,5\quad\right.$$Weil in diesem Fall \(x>-5\) gelten muss, haben wir also die Teillösung: \(-5<x<-2,5\).

2. Fall \(x<-5\) bzw. \((5+x)<0\)$$\left.\frac{3x}{5+x}<-3\quad\right|\quad\cdot(5+x)$$$$\left.3x>-3(5+x)\quad\right|\quad\text{rechts ausrechnen}$$$$\left.3x>-15-3x\quad\right|\quad+3x$$$$\left.6x>-15\quad\right|\quad\div6$$$$\left.x>-\frac{15}{6}=-2,5\quad\right.$$Weil in diesem Fall \(x<-5\) gelten muss, haben wir also keine weitere Lösung, denn \(x\) kann nicht zugleich auch \(<-5\) und \(>-2,5\) sein.

Zusammengefasste Lösung: \(-5<x<-2,5\)

Answer 2

a)

(3·x + 1)·(x - 2) + x^2 > 12 + (2·x - 1)^2

3·x^2 - 5·x - 2 + x^2 > 12 + 4·x^2 - 4·x + 1

-x - 15 > 0 --> x < -15

Comments

3·x/(5 + x) < -3

Fall 1: 5 + x > 0 --> x > -5

3·x < -3·(5 + x)
3·x < -15 - 3·x
6·x < -15
x < -2.5 --> -5 < x < -2.5

Fall 2: x < -5

3·x/(5 + x) < -3
x > -2.5 → Keine Lösung