Welche Funktionen g, g' : g(x^2) = g'(x^2) = id_N kann man sich überlegen?

Question

Aufgabe:

$$ f: \mathbb{N} \to \mathbb{N} : x \mapsto x^2 $$

Gib zwei verschiedene

$$ g: \mathbb{N} \to \mathbb{N} $$

$$ g': \mathbb{N} \to \mathbb{N} $$

mit $$ g \circ f = g' \circ f = id_N $$

Problem/Ansatz:

Wie findet man zwei verschiedene Funktionen, die f(x) als Input haben und id_N als Output? Zuerst habe ich mir g(x) = Wurzel(x) überlegt, aber das liegt nicht in den natürlichen Zahlen? Alles andere, was ich mir überlege erfüllt nicht die Bedingungen.

Ich freue mich über alle Tipps und Tricks :D!

Comments

Fehlerhafte Antwort (zurückgezogen)

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Nein, \( 2x^2 = 1 \) hat keine Lösung in \( \mathbb{N} \). Kann man also daraus schließen, dass \(g(x^2)=g'(x^2)=x\) nicht erfüllt werden kann?

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Genau. Denn jede Funktion \(g\), die \(g(x^2)=g'(x^2)=x\) erfüllt, muss auch irgendwie \(2x^2=1\) erfüllen. Für alle \(x\in \mathbb{N}\) gibt es aber keine Lösung und damit auch nicht eine solche Funktion.

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Interessant. Ich habe im Irrglauben gelebt, dass wenn steht "gib an", auch Antwortmöglichkeiten zum Angeben existieren müssen. Falsch gedacht :D. Auf der Uni ist das anders.

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Oh, das habe ich gar nicht gelesen - Ich dachte, dass dort "Gibt es" steht :o

Dann schaue ich mir das doch nochmal an, weil das wäre eher untypisch.

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Ne, muss gestehen, dass mir nichts auffällt. Vielleicht mischt ja ein Dritter noch etwas dazu.

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Ein schreckliches Beispiel. Ein Mitglied einer Discord-Gruppe sagt, dass es in den natürlichen Zahlen Lösungen gibt (er verrät mir nicht welche :c). Nur in größeren Mengen wie Z gibt es keine weil \(-x = id(-x) = g((-x)^2) = g(x^2) = id(x) = x\). Vielleicht hilft dir das ja.

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Dran denken dass die Funktionen \(\mathbb{N}\to\mathbb{N}\) sind, Ableitungsgedöns funktioniert also nicht. Mit \(g'\) ist denke ich nicht die Ableitung von \(g\) genannt sondern irgendeine andere Funktion.

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Hallo rafael, soll \(g'(x)\) die Ableitung von \(g(x)\) sein oder sind das zwei unterschiedliche Funktionen einfach?

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Vorausgesetzt ist nur die Gleichheit von \(g(x^2)=g'(x^2)\).

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Ok, verstanden.

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Stimmt, das ist der Fehler, der in meiner bisherigen Antwort steckt. Die ganze Infinitesimalrechnung kann man ja wegwerfen.

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hairbert hat es aufgeklärt: das sind zwei verschiedene Funktionen, nicht die Ableitung *facepalm*

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Oh man, die Bezeichnung ist aber auch echt verwirrend. xD

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Die Bezeichnung der Funktion mit \(g'(x)\) ist echt ein bisschen irreführend xD

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Sorry, so ist das Beispiel :c..

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Alles gut, haha. :D Dafür kannst du ja nichts

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Alles gut, ich ärgere mich nur gerade, dass ich versucht habe, mit der Ableitung von einer Funktion von \(\mathbb{N}\to \mathbb{N}\) zu rechnen. Zeit, um ins Bett zu gehen :p

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Jeder macht mal Fehler und aus denen lernt man auch am Besten. Also kein Beinbruch :D

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Aber \(g\) und \(g'\) zu verwenden, um damit zwei verschiedene Funktionen einzuführen, ist schon schäbig. Weitere Beispiele:

\(\frac{\pi}{2}=\pi.5\)

\(\{1,...,2\}\)

\(\int \limits_{\forall}^{\exists }\in \mathrm{d}\in\)

\(8^T=\infty\)

\(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \cos(\pi)=-\sin(\pi)\) (ist richtig)

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Wieso liegt Wurzel(x^2) nicht in den natürlichen Zahlen?

Bedeutet der ' wirklich, das g' die Ableitung von g ist, oder soll es nur g von g' unterscheiden, da ja zwei verschiedene Funktionen gesucht werden ?

Was ist das Ergebnis von

Wurzel(x^2), ist das nicht |x| und ist das nicht die Identische Abbildung?

Was ist x^2/|x| ? Ist das nicht auch |x|?

Keine Ahnung, aber viele Fragen und alle drehen sich um den Absolutbetrag.

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Ich habe jetzt noch gerätselt und gelitten, aber die Lösung ist tischfertig ^^:

{g: x abgebildet auf sqrt(x), wenn es ein a ^ 2 = x, g x abgebildet auf x, wenn es kein a ^ 2 = x}

{g': x abgebildet auf sqrt(x), wenn es ein a ^ 2 = x, g' x abgebildet auf 0, wenn es kein a ^ 2 = x}

Die geforderte Bedingung ist dadurch erfüllt!

Vielen, vielen Dank für all eure Tipps <3!

Answer 1

Da unsere Funktionen alle \(\mathbb{N}\to\mathbb{N}\) sind, sagt deine Gleichung quasi nur aus, dass deine Funktionen Quadratzahlen auf ihre Wurzel schicken sollen. Davon gibt es natürlich sehr viele Funktionen, im Grunde kannst du den Funktionswert jeder nicht-Quadratzahl frei wählen. Aus Faulheit schlage ich einfach mal \(g(x)=\lceil \sqrt{x}\rceil, g'(x)=\lfloor \sqrt{x}\rfloor\) vor, quasi deine Idee nur hat mit Auf- bzw. Abrunden, damit wir in den natürlichen Zahlen landen.

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Daumen hoch!

Answer 2

Was ist mit g(f(x )) = Wurzel (f(x))?

Was ist mit g' (f(x))=f(x)/x

Oder h(f(x))= f(x)/|x|

Comments

Nein, das geht nicht.

\(g: \mathbb{N}\to \mathbb{N}\) bedeutet, dass dein Bild \(\mathbb{N}\) ist. Was ist aber wenn du z. B. \(g(5)\) berechnest? Dann hast du \(g(5)=\sqrt{5}\notin \mathbb{N}\).

Du musst wie hairbeRt die untere bzw. obere Gaußklammer verwenden.

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g wird doch nur auf f angewendet,

Das Ergebnis von f sind nur Quadratzahlen.

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In der Aufgabenstellung wird aber gefordert, dass schon \(g:\mathbb{N}\to\mathbb{N}\) ist und nicht nur \((g\circ f): \mathbb{N}\to\mathbb{N}\). Das ist ein Unterschied.

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Gut, dann eben Ganzzahl,von Wurzel .Ist jetzt ja auch entschieden.

Aber die Ableitung ist vom Tisch.