Es ist für mich auf jeden Fall schon klarer, aber eine Sache läuchtet mir noch nicht ganz ein. Die Transitivität ist ja definiert durch:
(Tra)∀x,y,z∈M : ((x,y)∈R∧(y,z)∈R)⟹(x,z)∈R
Angenommen ich nehme die Menge N : ={1,2}, die Partition Q : ={{1},{2}} und die dazugehörige Äquivalenzrelation R : ={(1,1),(2,2)} (wie aus Ihrem Beispiel). Wie kann R eine Äquivalenzrelation sein? Verletzt das nicht die Transitivität? Wenn ich x=1,y=2,z=1 aus N nehme, ist (1,2)∈/R∧(2,1)∈/R. Was genau verstehe ich nicht richtig?
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Oh. Mir ist während dem Schreiben aufgefallen, warum die Transitivität nicht verletzt ist. Die Conclusio der Implikation (1,1)∈R ist wahr, und deshalb ist die ganze Aussage richtig. Auch ist es nicht möglich, eine wahre Prämisse und eine falsche Conclusio zu bauen - die einzige Möglichkeit wie die Implikation falsch sein könnte.
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Für Q={{1}} habe ich weiterhin die R={(1,1)}.
Q={{1},{2}}R={(1,1),(2,2)}
Q={{1,2}}R={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)}
Q={{1},{2},{3}}R={(1,1),(2,2),(3,3)}
Q={{1,2},{3}}R={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,3)}
Q={{1},{2,3}}R={(1,1),(2,2),(2,3),(3,2),(3,3)}
Q={{2},{1,3}}R={(1,1),(1,3),(3,1),(3,3),(2,2)}
Q={{1,2,3}}R={(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2)}
Passt das? Ich hoffe, es haben sich keine Fehler eingeschlichen und ich habe nichts übersehen!