Satz von Cayley Beweisen

Question

Aufgabe:

Der „Satz von Cayley“ besagt, dass jede Gruppe eine Gruppe von Permutationen ist. Das
bedeutet, dass es zu jeder Gruppe G einen injektiven Gruppenhomomorphismus ϕ : G → Σ(G) gibt. Damit
ist dann G ∼ = ϕ(G) ⊆ Σ(G) Untergruppe einer Permutationsgruppe. Beweisen Sie den Satz von Cayley.

Comments

Im Internet finden sich zahlreiche Beweise - solltest du da spezielle Schritte nicht verstehen, dann bitte deine Fragen nachreichen. Ohne jegliche Ansätze, ist es nicht sehr motivierend, eine Antwort zu schreiben.

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@racine_carrée

reicht das so? Vielen Dank im Voraus!! :)

Text erkannt:

Answer 1

Was sagt der Satz von Caley denn, wenn du es dir mal wörtlich zusammenreimst? Wenn du das nicht tust, dann macht der Beweis auch keinen Sinn. Und Internetbeweise immer mit Vorsicht genießen, man versteht eigentlich nie das "große Ganze", wenn man die sich anschaut. Zum Beispiel der von dir hochgeladene Internetbeweis ist zwar richtig und macht quasi genau das, was ich mache, nur halt ohne Erklärung. Daraus wird man nicht schlau.

Der Satz von Caley sagt "jede Gruppe G ist eine Gruppe von Permutationen", ok das ist nicht sehr detailliert. Die technische Formulierung gibt ein paar mehr Informationen, wenn du dir anschaust, wo der gesuchte Homomorphismus hingeht, nämlich \(G\to\Sigma(G)\). Das bedeutet, die Elemente von \(G\) sind nicht irgendwelche Permutationen, sondern Permutationen in \(G\) selbst. Du hast also zwei Dinge zu tun: Eine passende Abbildung FINDEN (angeben) und dann BEWEISEN, dass sie funktioniert. Was ist der kanonische Weg, mittels eines Gruppenelementes deine eigene Gruppe zu permutieren? Kanonisch heißt hier: Das erste, was einem einfällt, und das ist natürlich einfach nur dranmultiplizieren.

Also wir identifizieren jetzt zu jedem Element \(g\in G\) die Permutation \(\sigma_g:G\to G, x\mapsto gx\). Unsere Abbildung die wir konstruieren sollten, \(\phi:G\to\Sigma(G)\), schickt jetzt einfach nur jedes Element zu ihrer identifizierten Permutation, also \(\phi(g)=\sigma_g\). Wir behaupten jetzt einfach mal, dass das bereits unsere (oder: eine) gesuchte Abbildung ist.

1. Das ist tatsächlich eine Abbildung \(G\to\Sigma(G)\), sprich: Für alle \(g\in G\) ist \(\sigma_g\) tatsächlich eine Permutation auf \(G\). Das folgt aus den Gruppenaxiomen, das kannst du einfach nachrechnen.

2. \(\phi\) ist ein Gruppenhomomorphismus, bedeutet in diesem Fall: \(\sigma_g\circ\sigma_h = \sigma_{gh}\) und \(\sigma_e = id_G\).

3. \(\phi\) ist injektiv, also wenn \(g\neq h \in G\), dann gilt auch \(\sigma_g \neq \sigma_h\). Das ist recht einfach, was machen denn die dazugehörigen Permutationen mit dem neutralen Element?

Wenn du diese drei Eigenschaften hast, dann weißt du automatisch, dass \(G\) isomorph zu \(\phi(G)\) sein muss, dann bist du fertig.