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Aufgabe:

Zeichnen Sie ein beliebiges dreieck. Konstruieren Sie über den Seiten dieses Dreiecks drei gleichseitige Dreiecke AC1B | BA1C | CB1A. Begründen Sie dass die Strecken [AA1] , [BB1] , [CC1] gleich lang sind.


Problem/Ansatz:

Ich habe das dreieck gezeichnet, konstruiert und gekuckt ob die Seiten gleich lang sind was sie auch sind. Jetzt weiß ich aber nicht wie ich das anhand der Strecken begründen soll.

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2 Antworten

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Hier zunächst eine Skizze

blob.png

Avatar von 487 k 🚀

Kannst du zeigen dass die Dreiecke

B1 B C sowie A A1 C kongruent sind?

Dann müssen AA1 sowie BB1 auch gleich lang sein.

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Da noch keiner geantwortet hat, habe ich einen Vorschlag.

Ich berechne die Strecken mittels der Koordinaten, dazu reicht wie ich meine, zu zeigen,, dass für alle denkbaren Dreiecke

|A'A|= |C'C| der Beweis |B'B|=|C'C| würde entsprechen funktionieren.

Ich lege fest, das A(0;0) und B(1;0)

Die Veränderung des Maßstab ändert nichts an den Seitenverhältnissen.

$$C(x,y) ; y>0 $$

Damit werde ich allen möglichen Dreiecken gerecht.

$$C'(1/2 ; -\sqrt{3}/2)$$

Nun berechne ich

$$|CC'|^2 = (x-1/2)^2+(y+\sqrt{3} /2)^2$$

$$=x^2-x+y^2+ \sqrt{3} *y+1$$

Nun berechne ich

$$A'(1+x)/2+\sqrt{3}/2*y; $$$$y/2+ \sqrt{3} /2*(1-x))$$

$$|AA'|^2=((1+x)/2+\sqrt{3}/2*y)^2+(y/2+ \sqrt{3} /2*(1-x))^2$$

$$=((x+1)^2/4+(x+1)*\sqrt{3}/2*y)^2+3/4y^2)+$$$$(1/4y^2+\sqrt{3}/2*(1-x)y+3/4(1-x^2)^2)$$

$$=x^2-x+y^2+ \sqrt{3} *y+1$$

$$|AA'|^2=|CC'|^2$$$$|AA'|=|CC'|$$

$$wzzw$$

:-)

Gruß, Hogar

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