Zeigen Sie b=c⇔a◦b=a◦c. Gruppen

Question

Aufgabe:

Sei (G,◦) eine Gruppe und seien a,b,c∈G. Zeigen Sie b=c⇔a◦b=a◦c.

Problem/Ansatz:

wie beweist man so etwas? Mir kommt da spontan die Transitivität in den Sinn aber wie kann man das aufschreiben?

Answer 1

Du musst einerseits \(\Rightarrow\) und andererseits \(\Leftarrow\) zeigen. Ich mache mal

\(\Leftarrow\):

Sei \(a\circ b=a\circ c\). Da \((G,\circ)\) eine Gruppe und \(a,b,c\in G\), existiert das Inverse von \(a\), also \(a^{-1}\in G\). Dann gilt nach Multiplikation mit dem Linksinversen:$$a^{-1}\circ (a\circ b)=a^{-1}\circ (a\circ c) \\ (a^{-1}\circ a)\circ b = (a^{-1}\circ a)\circ c \quad | \text{ Assoziativität}$$$$e\circ b = e\circ c \Leftrightarrow b=c \quad \Box$$

\(\Rightarrow\):

Hier würde ich nicht einfach nur, wie Roland insinuiert, von links mit \(a\) verknüpfen, sondern überdies darauf verweisen, dass die Verknüpfung zweier Elemente der Menge wiederum ein Element derselben Menge ist. (Abgeschlossenheit)

Das ist wichtig, denn man weiß a priori nicht, dass \(a\circ b\in G\). Das fordert aber die Definition der Gruppe, daher ist alles gut.

Man fordert nämlich eine innere zweistellige Verknüpfung \(\circ\).

Comments

Vielen lieben Dank für deine tolle Antwort! Du hast das echt super und verständlich erklärt :) Hab einen schönen Sonntag! :)

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Danke für die nette Rückmeldung. Dir ebenfalls einen schönen Sonntag.

Answer 2

1. Beweise b=c⇒a◦b=a◦c durch a◦ auf beiden Seiten.

2. Beweise a◦b=a◦c⇒b=c durch Multiplikation mit dem Linksinversen von a auf beiden Seiten.

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Danke für die Antwort Roland. :)