Zeige, dass folgende Aussage unabhängig von a ist

Question

Aufgabe:

Zeige, dass folgende Aussage unabhängig von a ist:

E = $\frac{2sin(3a)}{4sin(a)*sin(60°+a)*sin(60°-a)}$

Answer 1

allo,

sin(60°+α) =sin (60°) *cos(α) +cos (60°) *sin (α) =(√3/2) cos(α) +(1/2) sin(α)

sin(60°-α) =sin (60°) *cos(α) -cos (60°) *sin (α) =(√3/2) cos(α) -(1/2) sin(α)

sin(3α) = 3 sin(α) -4 sin³(α)

Wenn Du das einsetzt , bekommst Du 2 als Lösung.

Answer 2

Hallo,

$$\begin{aligned} &\phantom{=} \frac{2 \sin(3a)}{4 \sin(a) \cdot \sin(60°+a) \cdot \sin(60°-a)} \\ &= \frac{2 \sin(3a)}{4 \sin(a) \cdot(\sin(60°) \cos(a) + \cos(60°)\sin(a)) \cdot(\sin(60°) \cos(a) - \cos(60°)\sin(a))} \\&= \frac{2 \sin(3a)}{ 4\sin(a) \cdot(\frac 34 \cos^2(a)- \frac 14 \sin^2(a) ) } \\&= \frac{2 \sin(a)(4 \cos^2(a) -1 )}{\sin(a)(3\cos^2(a) - \sin^2(a) )} \\&= \frac{2 \sin(a)(4 \cos^2(a) -1 )}{\sin(a)(4 \cos^2(a) - 1)} \\&= +2 \end{aligned}$$siehe auch hier.

Comments

$$sin(60^\circ-a)=sin(60^\circ)cos(a)-cos(60^\circ)sin(a)$$

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Danke ... hatte ich schon korrigiert

Answer 3

Etwas straightforward, aber:

$$4sin(a)*sin(60^\circ+a)*sin(60^\circ-a) \\\overset{Add.theoreme}{=} 4sin(a)*(sin^2(60^\circ)cos^2(a)-cos^2(60^\circ)sin^2(a))\\ = 4sin(a)*(\frac{3}{4}cos^2(a)-\frac{1}{4}sin^2(a)) \\= sin(a)*(3cos^2(a)-sin^2(a)) \\\overset{Trig. Pyth.}{=} sin(a)*(3cos^2(a)-sin^2(a) + sin^2(a)+cos^2(a)-1) \\= sin(a)*(4cos^2(a)-1) \\ = sin(3a)$$

Letzteren Schritt kann über die Additionstheoreme mit $sin(3a)=sin(a+a+a)$ nachvollzogen werden.

Dann folgt sofort

$$E=2\cdot \frac{sin(3a)}{4sin(a)*sin(60^\circ+a)*sin(60^\circ-a)}=2\cdot \frac{sin(3a)}{sin(3a)}=2$$