Wie berechne ich den Grenzwert von (n^2+4)/(n^3-4n)?

Question

Aufgabe:

Wie berechne ich den Grenzwert von (n^2+4)/(n^3-4n)?

Ansatz:

Im Unterricht haben wir gelernt, dass man im Nenner die größte Potenz ausklammert. Das wäre in dem Fall n^3. Aber im Zähler steht nur n^2? Wie komme ich hier auf den Grenzwert?

Answer 1

(n^2 + 4)/(n^3 - 4·n)

durch n^2 kürzen

= (1 + 4/n^2)/(n - 4/n)

Kannst du jetzt den Grenzwert erkennen. Gegen welchen Wert strebt der Zähler, gegen welchen Wert der Nenner. Was gibt das als Grenzwert?

(n^2 + 4)/(n^3 - 4·n)

Du kannst auch n^3 ausklammern und dadurch kürzen

= (1/n + 4/n^3)/(1 - 4/n^2)

Was wäre jetzt der Grenzwert?

Answer 2

Hi,

Du kannst hier direkt sagen, dass die Nennerpotenz größer ist als die Zählerpotenz. Daher geht der ganze Bruch für n gegen unendlich gegen 0 (Der Nenner "gewinnt").

Grüße

Answer 3

Wenn du aus n² den Faktor n³ ausklammerst, bleibt \( \frac{1}{n} \) übrig.

Wenn du aus 4 den Faktor n³ ausklammerst, bleibt \( \frac{4}{n^3} \) übrig.

Answer 4

Wenn du keine Klammern vergessen hast, existiert kein Grenzwert. Ich vermute daher, es sollte (n²+4)/(n³-4n) heißen. Kürzen mit n³ ergibt \( \frac{\frac{1}{n}+\frac{4}{n^3}}{\frac{1}{1}-\frac{4}{n^2}} \). Für n→∞ wird der Zähler 0 und der Nenner 1. \( \frac{0}{1} \)=0.

Answer 5

Eine dumme Frage, welchen Grenzwert?

 $$\lim\limits_{n\to\infty}(n^2+4)/(n^3-4n)=$$$$\lim\limits_{n\to\infty} (1/n+4/n^3)/(1-4/n^2)→0$$

$$\lim\limits_{n\to0} (n^2+4)/(n^3-4n)$$$$\lim\limits_{n>0\to0} (n+4/n)/(n^2-4)→∞$$$$\lim\limits_{n<0\to0} (n+4/n)/(n^2-4)→-∞$$

$$\lim\limits_{n\to+2} (n^2+4)/(n^3-4n)=$$$$\lim\limits_{n\to+2} (n+4/n)/(n^2-4)=$$$$\lim\limits_{n\to+2} (n+4/n)/((n+2)*(n-2))=$$$$\lim\limits_{n\to+2} ((n^2+4)/n(n-2))/(n+2)$$Mit$$m+2=n$$$$\lim\limits_{m\to0} ((m+2)^2+4)/((m+2)m)/(m+4)$$$$\lim\limits_{m\to0} (m^2+4m+8)/((m+2)m)/(m+4)$$$$\lim\limits_{m\to0} (m+4+8/m)/((m+2))/(m+4)$$$$\lim\limits_{m>0\to0} (m+4+8/m)/((m+2))/(m+4)→∞ $$$$\lim\limits_{n>2\to+2} (n^2+4)/(n^3-4n)→∞ $$$$\lim\limits_{m<0\to0} (m+4+8/m)/((m+2))/(m+4)→-∞ $$$$\lim\limits_{n<2\to+2} (n^2+4)/(n^3-4n)→-∞ $$

$$\lim\limits_{n>-2\to-2} (n^2+4)/(n^3-4n)   →∞   $$$$\lim\limits_{n<-2\to-2} (n^2+4)/(n^3-4n)  $$$$→-∞  $$

$$\lim\limits_{n\to-\infty}(n^2+4)/(n^3-4n)=$$$$\lim\limits_{n\to-\infty} (1/n+4/n^3)/(1-4/n^2)→0$$