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Aufgabe:

Wie berechne ich den Grenzwert von (n2+4)/(n3-4n)?


Ansatz:

Im Unterricht haben wir gelernt, dass man im Nenner die größte Potenz ausklammert. Das wäre in dem Fall n3. Aber im Zähler steht nur n2? Wie komme ich hier auf den Grenzwert?

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(n2 + 4)/(n3 - 4·n)

durch n2 kürzen

= (1 + 4/n2)/(n - 4/n)

Kannst du jetzt den Grenzwert erkennen. Gegen welchen Wert strebt der Zähler, gegen welchen Wert der Nenner. Was gibt das als Grenzwert?


(n2 + 4)/(n3 - 4·n)

Du kannst auch n3 ausklammern und dadurch kürzen

= (1/n + 4/n3)/(1 - 4/n2)

Was wäre jetzt der Grenzwert?

Avatar von 492 k 🚀
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Hi,

Du kannst hier direkt sagen, dass die Nennerpotenz größer ist als die Zählerpotenz. Daher geht der ganze Bruch für n gegen unendlich gegen 0 (Der Nenner "gewinnt").


Grüße

Avatar von 141 k 🚀
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Wenn du aus n² den Faktor n³ ausklammerst, bleibt \( \frac{1}{n} \) übrig.

Wenn du aus 4 den Faktor n³ ausklammerst, bleibt \( \frac{4}{n^3} \) übrig.

Avatar von 56 k 🚀
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Wenn du keine Klammern vergessen hast, existiert kein Grenzwert. Ich vermute daher, es sollte (n2+4)/(n3-4n) heißen. Kürzen mit n3 ergibt \( \frac{\frac{1}{n}+\frac{4}{n^3}}{\frac{1}{1}-\frac{4}{n^2}} \). Für n→∞ wird der Zähler 0 und der Nenner 1. \( \frac{0}{1} \)=0.

Avatar von 124 k 🚀
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Eine dumme Frage, welchen Grenzwert?

 $$\lim\limits_{n\to\infty}(n^2+4)/(n^3-4n)=$$$$\lim\limits_{n\to\infty} (1/n+4/n^3)/(1-4/n^2)→0$$


$$\lim\limits_{n\to0} (n^2+4)/(n^3-4n)$$$$\lim\limits_{n>0\to0} (n+4/n)/(n^2-4)→∞$$$$\lim\limits_{n<0\to0} (n+4/n)/(n^2-4)→-∞$$


$$\lim\limits_{n\to+2} (n^2+4)/(n^3-4n)=$$$$\lim\limits_{n\to+2} (n+4/n)/(n^2-4)=$$$$\lim\limits_{n\to+2} (n+4/n)/((n+2)*(n-2))=$$$$\lim\limits_{n\to+2} ((n^2+4)/n(n-2))/(n+2)$$Mit$$m+2=n$$$$\lim\limits_{m\to0} ((m+2)^2+4)/((m+2)m)/(m+4)$$$$\lim\limits_{m\to0} (m^2+4m+8)/((m+2)m)/(m+4)$$$$\lim\limits_{m\to0} (m+4+8/m)/((m+2))/(m+4)$$$$\lim\limits_{m>0\to0} (m+4+8/m)/((m+2))/(m+4)→∞ $$$$\lim\limits_{n>2\to+2} (n^2+4)/(n^3-4n)→∞ $$$$\lim\limits_{m<0\to0} (m+4+8/m)/((m+2))/(m+4)→-∞ $$$$\lim\limits_{n<2\to+2} (n^2+4)/(n^3-4n)→-∞ $$


$$\lim\limits_{n>-2\to-2} (n^2+4)/(n^3-4n)   →∞   $$$$\lim\limits_{n<-2\to-2} (n^2+4)/(n^3-4n)  $$$$→-∞  $$


$$\lim\limits_{n\to-\infty}(n^2+4)/(n^3-4n)=$$$$\lim\limits_{n\to-\infty} (1/n+4/n^3)/(1-4/n^2)→0$$

Avatar von 11 k

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