Wie zeige ich das eine Funktion in bestimmten Punkten stetig ist?

Question

Zeige: f(x) := 2x²-1 ist stetig im Punkt

a) x=1

b) x=2

c) x=100

d) x=a

Answer 1

Definition von Stetigkeit in einem Punkt x₀

∀ε>0∃δ>0: |x-x₀| < δ ⇒ |f(x)-f(x₀)| < ε

Diese Definition ist aber sehr unhandlich, um damit zu rechnen.
An sich gibt es mehrere Möglichkeiten das zu zeigen, die Frage ist, was du verwenden darfst.

 

Eine Möglichkeit ist es, den Grenzwert auszurechnen und zu zeigen, dass er dem Funktionswert an der Stelle entspricht.

Die obige Definition ist nämlich äquivalent zu:

∀x₁, x₂, ... , x_n: lim_n→∞ x_n = x₀ ⇒ lim_n→∞ f(x_n) = f(x₀)

Allerdings ist das relativ langweilig, da das Grenzwert ausrechnen bei der Funktion immer nur dem Einsetzen der Zahl entspricht.

 

Eine zweite Möglichkeit ist die über das Gesetz der Superposition stetiger Funktionen.

Da g(x) = x auf dem ganzen Definitionsbereich stetig ist, ist auch h(x)=g(x)*g(x) = x² auf dem ganzen Definitionsbereich stetig.

Da h(x) und j(x) = 2 stetig sind, ist auch k(x) = h(x)*j(x) = 2x² stetig.

Da k(x) und l(x) = 1 stetig sind, ist auch f(x) = k(x)-l(x) = 2x²-1 stetig, also ist f(x) stetig auf dem ganzen Definitionsbereich, insbesondere in allen vier Punkten.