Woher kommt in dieser Lösung die 7n2 ? hat man sich das einfach ausgedacht?

Question

Beweise mit vollständiger Induktion:

2ⁿ > n³ für alle n ≥ 10

Text erkannt:

\( \begin{array}{l}\text { D6: } 2^{n}>n^{3} & \text { (für alle } n \geq 10)\end{array} \)
Induktionsanfang: \( \mathrm{n}=10: 2^{10}=1024>1000=10^{3} \)
Induktionsschluss:
\( 2^{n+1}=2 \cdot 2^{n}>2 \cdot n^{3}=n^{3}+n^{3}>n^{3}+7 n^{2}=n^{3}+3 n^{2}+4 n^{2}=n^{3}+3 n^{2}+3 n^{2}+n^{2} \)
\( >n^{3}+3 n^{2}+3 n+1=(n+1)^{3} \quad \) q.e.d.

Woher kommt in dieser Lösung die 7n² ? hat man sich das einfach ausgedacht?

Answer 1

Scheinbar ja, denn dann passt alles zusammen und 7<9<n

Doch es war ja auch klar, was gezeigt werden soll.

So wird das oft gemacht. Erst von hinten nach vorne denken und dann von vorne nach hinten aufschreiben.

Comments

als normal sterblicher kommt man doch niemals darauf zufällig mal 7n² zu addieren, trotzdem danke!

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$$(x+1)^3=x^3+3x^2+3x+1$$

$$x^3+3x^2+3x^2+1x^2$$$$>x^3+3x^2+3x+1$$

$$x^3+7x^2>x^3+3x^2+3x+1$$

Die Idee 7=3+3+1, so abwegig ist es also nicht

Die andere Richtung zeigte ich ja schon.

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Achso, ok vielen Dank!

Answer 2

Die 7n^2 ist natürlich nicht ganz zufällig so gewählt. Du siehst in der weiteren Rechnung das dieser Term eben eine Abschätzung erlaubt. Ich notiere es deswegen eigentlich immer anders.

2^(n + 1) ≥ (n + 1)^3
2·2^n ≥ n^3 + 3·n^2 + 3·n + 1
2^n + 2^n ≥ n^3 + 3·n^2 + 3·n + 1
n^3 + n^3 ≥ n^3 + 3·n^2 + 3·n + 1
n^3 ≥ 3·n^2 + 3·n + 1
n^3 ≥ 3·n^2 + 3·n^2 + 1·n^2
n^3 ≥ 7·n^2
n·n^2 ≥ 7·n^2
n ≥ 7

Hier siehst du die geeignete Abschätzung (fett). Wie ich es notiere ist das für mich der einfachste Weg zu erkennen wie man abschätzen muss. Beweise selber werden nachher nur in etwas anderer Reihenfolge aufgeschrieben. Zum Glück durften wir das in der Uni aber auch letztendlich so hinschreiben wie ich es oben gemacht habe.

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Danke sehr ! :)