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Aufgabe 5:

Seien die beiden Vektoren
$$ \vec{v}:=\left(\begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array}\right) \quad \text { und } \quad \vec{w}:=\left(\begin{array}{c} -2 \\ 6 \\ -4 \end{array}\right) $$
gegeben. Welche Vektoren \( \vec{x}, \vec{y} \in G S / \sim \) lösen das Gleichungssystem
$$ \begin{array}{l} 2 \vec{x}+4 \vec{y}=\vec{v} \\ 3 \vec{x}-2 \vec{y}=\vec{w} \quad ? \end{array} $$


Aufgabe 5:
$$ \begin{array}{l} 2 \vec{x}+4 \vec{y}=\vec{v} \\ 3 \vec{x}-2 \vec{y}=\vec{w} \end{array} $$
Gleichung (1) nach \( \vec{x} \) umgestellt:
$$ \vec{x}=\frac{1}{2} \vec{v}-2 \vec{y} $$
In Gleichung (2) eingesetzt:
$$ 3 \cdot\left(\frac{1}{2} \vec{v}-2 \vec{y}\right)-2 \vec{y}=\vec{w} \Rightarrow \vec{y}=\frac{3}{16} \vec{v}-\frac{1}{8} \vec{w} $$
In Gleichung (3) eingesetzt:
$$ \vec{x}=\frac{1}{2} \vec{v}-2 \cdot\left(\frac{3}{16} \vec{v}-\frac{1}{8} \vec{w}\right)=\frac{1}{8} \vec{v}+\frac{1}{4} \vec{w} $$


Hieraus folgt:
$$ \begin{array}{l} \vec{y}=\frac{3}{16} \cdot\left(\begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array}\right)-\frac{2}{16} \cdot\left(\begin{array}{c} -2 \\ 6 \\ -4 \end{array}\right)=\frac{1}{16} \cdot\left(\begin{array}{c} 7 \\ -21 \\ 14 \end{array}\right) \\ \vec{x}=\frac{1}{8} \cdot\left(\begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 2 \end{array}\right)+\frac{2}{8} \cdot\left(\begin{array}{c} -2 \\ 6 \\ -4 \end{array}\right)=\frac{1}{8} \cdot\left(\begin{array}{c} -3 \\ 9 \\ -6 \end{array}\right) \end{array} $$


Problem/Ansatz:

Wieso folgt das daraus?


woher kommt das -2/16 oder das 2/8???

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2 Antworten

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Eine sehr lange, teils doppelt aufgeführte Rechnerei.

Ich mache es so: Das gegebene Gleichungssystem löse ich im Additionsverfahren und erhalte:

8·\( \vec{x} \)=\( \vec{v} \)+2·\( \vec{w} \). Hier setze ich \( \vec{v} \) und \( \vec{w} \) ein und erhalte:

8·\( \vec{x} \)=\( \begin{pmatrix} -3\\9\\-6 \end{pmatrix} \) und nach Division durch 8:

\( \vec{x} \)=1/8·\( \begin{pmatrix} -3\\9\\-6 \end{pmatrix} \).  

Avatar von 123 k 🚀
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-2/16=-1/8

+2/8=1/4

Beide gekürzten Brüche stehen in der viertletzten bzw. drittletzten Rechenzeile.

:-)

Avatar von 47 k

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