Aloha :)
Die Kostenfunktion $$C(K,L)=0,6\cdot K+14\cdot L$$soll unter der Nebenbedingung$$F(K,L)=K^{0,6}+L=240$$minimiert werden. Die Lagrange-Funktion dazu lautet:$$f(K,L,\lambda)=0,6K+14L-\lambda(K^{0,6}+L-240)$$Das Rechnen mit der Lagrange-Funktion ist oft viel zu aufwändig. Einfacher geht es mit der Kern-Idee von Lagrange. In einem Extremum müssen der Gradient der Funktion und der Gradient der Nebenbedingung kollinear sein (also parallel oder anti-parallel). Das heißt, wenn man beide Gradienten als Spalten in eine Determinante schreibt, muss diese null sein:
$$0\stackrel!=\left|\begin{array}{cc}\partial_KC & \partial_KF\\\partial_LC & \partial_LF\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}0,6 & 0,6K^{-0,4}\\14 & 1\end{array}\right|=0,6\cdot1-14\cdot0,6K^{-0,4}\quad\Longleftrightarrow$$$$14K^{-0,4}=1\quad\Longleftrightarrow\quad K^{-0,4}=\frac{1}{14}\quad\Longleftrightarrow\quad K^{0,4}=14\quad\Longleftrightarrow\quad K=14^{2,5}$$Damit können wir alle Fragen beantworten:
(a) \(K=14^{2,5}\approx\boxed{733,364848}\)
(b) \(L=240-K^{0,6}=240-14^{1,5}\approx\boxed{187,616797}\)
(c) Der Lagrange-Multiplikatior \(\lambda\) ist der Faktor, mit dem man den Gradienten der Nebenbedingung multiplizieren muss, um den Gradienten der Funktion zu erhalten:$$\binom{0,6}{14}=\lambda\binom{0,6K^{-0,4}}{1}=\lambda\binom{0,6/14}{1}\quad\Longleftrightarrow\quad\lambda=\boxed{14}$$Wenn dir das nicht klar ist, kannst du auch die Lagrange-Funktion hier auch partiell nach \(L\) ableiten:$$0\stackrel!=\partial_Lf=14-\lambda\quad\Longleftrightarrow\quad\lambda=14$$(d) \(C_{\text{min}}=\boxed{3066,65}\)
