Welcher Punkt Q auf dem Graphen von f hat zum Ursprung den kleinsten bzw den größten Abstand?

Question

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)=-x^2+4 mit Df=[0;2]. Welcher Punkt Q auf dem Graphen von f hat zum Ursprung den kleinsten bzw. den größten Abstand?

Brauche bitte die Lösungen :)

Answer 1

Hallo,

zu maximieren/minimieren ist die Abstandsfunktion bzw. deren Quadrat:

\(d(x)=x^2+f(x)^2\) unter der Nebenbedingung \(f\left |_{[0,2]} \right (x)=-x^2+4\).

Es gilt dann \(d'(x)=2x+f'(x)\cdot 2f(x)=2x+(-2x)\cdot 2(-x^2+4)=0\) und damit$$2x(2x^2-7)=0 \Rightarrow x=0 \, \vee \, x=\pm\sqrt{\frac{7}{2}}$$ (negative Lösung entfällt)

Nicht vergessen, auch den Rand zu untersuchen.

PS: der tatsächliche Abstand ist dann gegeben durch \(\sqrt{d(x)}\) mit den Werten, die du ausgerechnet hast.

Comments

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Könntest du die komplette Rechnung mit den eingesetzten vorgegebenen Zahlen einmal aufschreiben? :)

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Mache ich doch.

d(x)=x^2+f(x)^2=x^2+(-x^2+4)^2

Ableitung:

d'(x)=2x+(-2x)(-x^2+4)

Null setzen, usw.

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\(x = \pm \sqrt{\frac 72}\)

.. ist doch richtig! ich hatte die Aufgabe falsch verstanden ... :-/

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Das ist nur rechnerisch richtig, nicht im Aufgabenkontext.

DB beachten...

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@abakus

Gegenvorschlag: Man kann auch einen Satz direkt unter dem, was du zitierst, beachten.

Answer 2

rot: größter Abstand

grün: kürzester Abstand.

Answer 3

$$f(x)=-x^2+4 $$

$$D(x)=x^2+(4-x^2)^2$$

$$D(x)= x^2+x^4-8x^2+16$$

$$D(x)=x^4-7x^2+16$$

$$D'(x)=4x^3-14x= 0$$

$$D''(x)=12x^2-14$$

Extremstelle bei x=0 HP

$$4x^2-14= 0$$

$$4x^2= 14$$

$$x^2=3,5$$

$$x_1=  \sqrt{3,5}$$ TP

Q(0;4) hat den größten Abstand zum Ursprung.

P(\( \sqrt{3,5} \) ;0,5) hat den kleinsten Abstand.

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