Question

Welcher punkt p (u|v) auf der normalparabel mit der gleichung y=x^2 hat vom punkt Q (1/4 | 1/2 ) den kleinsten abstand? Hinweis: bestimmen sie nicht das minimum dea absandes, sondern das minimum des quadrates des abstandes^1. ^1: Es gilt folgender satz: ist f(x) kleiner gleich 0 für alle x im Definitionsbereich, dann haben die funktionen f und f^2 an denselben stellen die absoluten maxima und minima. Hallo:)  Die aufgabe rechenen danke.

Answer 1

Für den Abstand d ( u  ) der Punkte ( u | v = u ² ) und ( 1 / 4 | 1 / 2 ) ) gilt:

d ( u ) = - √ ( u - ( 1 / 4 ) ) ² + ( u ²  - ( 1 / 2 ) ) ²

(negatives Vorzeichen, damit der Satz anwendbar ist. für das Quadrat von d spielt das Vorzeichen keine Rolle)

=>

d ²( u )  = ( u - ( 1 / 4 ) ) ² + ( u ²  - ( 1 / 2 ) ) ²

= u ² - ( 1 / 2 ) u + ( 1 / 16 ) + ( u ² - u + 1 / 4 )

= 2 u ² - ( 3 / 2 ) u + 5 / 16

d ² ' ( u ) = 0

<=> 4 u - ( 3 / 2 ) = 0

<=> 4 u = ( 3 / 2 )

<=> u = 3 / 8

>= v = u ² = 9 / 64

Aufgrund des genannten Satzes ist der Punkt ( u | v ) auch absolutes Minimum der Funktion d ( u ) , siehe oben.

Also:

Der Punkt ( 3 / 8 | 9 / 64 ) ist der Punkt auf der Normalparabel, der vom Punkt ( 1 / 4 | 1 / 2 ) den geringsten Abstand hat .

Comments

Danke für die Lösung :) ich habe eine fragen zwar kann man anstatt d auch A Nennen?

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Namen sind Schall und Rauch, auch in der Mathematik  - du kannst das also nennen wie du willst.

Natürlich musst du dann bei der einmal gewählten Bezeichnung bleiben.

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Ya weil ich es immer A genant habe dachte ich villeicht hat d eine besondere bedeutung. Vielen dank :)

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Die Bezeichnung d (Abkürzung für englisch: distance - Abstand) wird häufig für Abstände verwendet. Zwingend ist das aber nicht.